Capitulation for even $K$-groups in the cyclotomic ${\mathbb{Z}}_p$-extension.

Validire, Romain

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 21 (2009) no. 2, pp. 439-454.

Soit $p$ un nombre premier et $F$ un corps de nombres. Depuis les travaux d’Iwasawa, le comportement de la $p$-partie du groupe des classes d’idéaux dans une ${\mathbb{Z}}_p$-extension de $F$ est assez bien compris. M. Grandet et J.-F. Jaulent ont en outre donné un résultat précis concernant sa structure de groupe abélien.

Par ailleurs, le groupe des classes d’idéaux s’interprête comme la partie de torsion du $K_0$ de l’anneau des entiers de $F$. Les $K$-groupes pairs de l’anneau des entiers peuvent être vus comme des versions supérieures du groupe des classes et le comportement de ces $K$-groupes dans les ${\mathbb{Z}}_p$-extensions a déjà été étudié par de nombreux auteurs. Dans cet article, nous montrons que le résultat de Grandet et Jaulent sur les groupes de classes est encore vrai pour les $K$-groupes pairs dans la ${\mathbb{Z}}_p$-extension cyclotomique.

Let $p$ be a prime number and $F$ be a number field. Since Iwasawa’s works, the behaviour of the $p$-part of the ideal class group in the ${\mathbb{Z}}_p$-extensions of $F$ has been well understood. Moreover, M. Grandet and J.-F. Jaulent gave a precise result about its abelian $p$-group structure.

On the other hand, the ideal class group of a number field may be identified with the torsion part of the $K_0$ of its ring of integers. The even $K$-groups of rings of integers appear as higher versions of the class group. Many authors have already studied the behaviour of the higher even $K$-groups in a ${\mathbb{Z}}_p$-extension. Here, we prove that Grandet and Jaulent’s result on class group still holds for higher even $K$-groups in the cyclotomic ${\mathbb{Z}}_p$-extension.

[AM] J. Assim & A. Movahhedi, Bounds for étale Capitulation Kernels. $K$-theory, 33 (2004), 199–213. | MR | Zbl

[Ba] G. Banaszak, Generalization of the Moore exact sequence and the wild kernel for higher $K$-groups. Compositio Math., 86 (1993), 281–305. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[DF] W. Dwyer & E. Friedlander, Algebraic and étale $K$-theory. Trans. Amer. Soc. 247 (1985), 247–280. | MR | Zbl

[FW] B. Ferrero & L. Washington, The Iwasawa invariant ${\mu }_p$ vanishes for abelian number fields. Ann. Math. 109 (1979), 377–395. | MR | Zbl

[GJ] M. Grandet & J.-F. Jaulent, Sur la capitulation dans les ${\mathbb{Z}}_{\ell }$-extensions. J. reine angew. Math. 362, 213–217. | EuDML | MR | Zbl

[Iw] K. Iwasawa, On ${\mathbb{Z}}_{\ell }$-extensions of algebraic number fields. Ann. Math. 98 (1973), 243–326. | MR | Zbl

[J1] J.-F. Jaulent, Sur le noyau sauvage des corps de nombres. Acta Arith. 67 (1994), no.4, 335–348. | EuDML | MR | Zbl

[J2] J.-F. Jaulent, Théorie $\ell$-adique globale du corps de classes. J. Théor. Nombres Bordeaux 10 (1998), 355–397. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[JM] J.-F. Jaulent & A. Michel, Approche logarithmique des noyaux étales sauvages des corps de nombres. J. Number Theory 120 (2006), no. 1, 72–91. | MR | Zbl

[Ka] B. Kahn, Descente galoisienne et $K_2$ des corps de nombres. $K$-theory 7 (1993), 55–100. | MR | Zbl

[KC] K. Krammer & A. Candiotti, On $K_2$ and ${\mathbb{Z}}_l$ extensions of number fields. Amer. J. Math. 100 (1978), 177–196. | MR | Zbl

[KM] M. Kolster & A. Movahhedi, Galois co-descent for étale wild kernels and capitulation. Ann. Inst. Fourier 50 (2000), 35–65. | Numdam | MR | Zbl

[Ko] M. Kolster, $K$-theory and arithmetic. Contemporary developments in algebraic $K$-theory, ICTP Lect. Notes, XV, Abdus Salam Int. Cent. Theoret. Phys. Trieste, (2004). | MR | Zbl

[Ku] L. V. Kuz’min, The Tate module for algebraic number fields. Math. USSR Izv.,6, No. 2 (1972), 263–361. | MR | Zbl

[LMN] M. Le Floc’h, A. Movahhedi & T. Nguyen Quang Do, On capitulation cokernels in Iwasawa theory. Amer. Journal of Mathematics, 127 (2005), 851–877. | MR | Zbl

[N1] T. Nguyen Quang Do, Sur la ${\mathbb{Z}}_p$-torsion de certains modules galoisiens. Ann. Inst. Fourier 36, no. 2 (1986), 27–46. | Numdam | MR | Zbl

[N2] T. Nguyen Quang Do, Analogues supérieurs du noyau sauvage. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux 4 (1992), 263–271. | Numdam | MR | Zbl

[N3] T. Nguyen Quang Do, Théorie d’Iwasawa des noyaux sauvages étales d’un corps de nombres. Publications Math. de la Faculté des Sciences de Besançon (2002). | Zbl

[NSW] J. Neukirch, A. Schmidt & K. Wingberg, Cohomology of number fields. Springer Verlag, Berlin (2000). | MR | Zbl

[S] P. Schneider, Über gewisse Galoiscohomologiegruppen. Math. Z. 168, 181–205 (1979). | MR | Zbl

[Ta] J. Tate, Relations between $K_2$ and Galois cohomology. Invent. Math. 36 (1976), 257–274. | MR | Zbl

[V] R. Validire, Capitulation des noyaux sauvages étales. Thèse de l’Université de Limoges, (2008).

[W] C. Weibel, Algebraic $K$-theory of rings of integers in local and global fields. Handbook of $K$-theory Vol. 1, 2, 139–190, Springer, Berlin, (2005). | MR | Zbl