Sur la ${\mathbb{Z}}_p$-torsion de certains modules galoisiens

Nguyen-Quang-Do, Thong

Annales de l'Institut Fourier, Tome 36 (1986) no. 2, pp. 27-46.

Étant donné un corps de nombres $K$ et un nombre premier $p$, soit ${𝒯}_K$ le sous-module de ${\mathbf{Z}}_p$-torsion du groupe de Galois de la $p$-extension abélienne $p$-ramifiée maximale de $K$. On se propose d’étudier la structure de module galoisien de ${𝒯}_K$. Si $K$ vérifie la conjecture de Leopoldt, ${𝒯}_K$ contient un sous-module formé des racines $p$-primaires de l’unité semi-locales quotientées par les racines $p$-primaires de l’unité globales, et le quotient de ${𝒯}_K$ par ce sous-module peut s’interpréter de deux façons : soit comme les points fixes d’un certain module d’Iwasawa, soit comme la ${\mathbf{Z}}_p$-torsion d’un module de Bertrandias-Payan. Des applications sont données à la théorie d’Iwasawa et à la $K$-théorie.

Given an algebraic number field $K$ and a prime number $p$ let ${𝒯}_K$ be the ${\mathbf{Z}}_p$-torsion submodule of the Galois group of the maximal Abelian $p$-ramified $p$-extension of $K$. We want to study the Galois module structure of ${𝒯}_K$. Under Leopoldt’s conjecture for $K$, ${𝒯}_K$ contains a submodule consisting of the semi-local $p$-primary roots of unity divided by the global ones, and the quotients of ${𝒯}_K$ by this submodule can be interpreted in two ways: either as the fixed points of an Iwasawa’s module, or as the ${\mathbf{Z}}_p$-torsion of a Bertrandias-Payan’s module. Applications are given to Iwasawa’s theory and to $K$-theory.

[1] H. Bass, éd., " Algebraic K-theory II ", Springer Lect. Notes in Math., n° 342 (1973). | Zbl

[2] F. Bertrandias et J.-J. Payan, Γ-extensions et invariants cyclotomiques, Ann. Sci. ENS, 5 (1972), 517-543. | Numdam | MR | Zbl

[3] J. Coates, p-adic L-functions and Iwasawa's theory, dans " Algebraic Number Fields ", Proc. Sympos. Durham, Academic Press (1977). | Zbl

[4] J. Coates, K-theory and Iwasawa's analogue of the Jacobian, dans " Algebraic K-theory II ", Springer Lect. Notes in Math., n° 342 (1973). | MR | Zbl

[5] J. Coates, On K2 and some classical conjectures in algebraic number theory, Ann. of Math., 95 (1972), 99-116. | MR | Zbl

[6] A. Fröhlich, éd., " Algebraic Number Fields ", Proc. Sympos. Durham, Academic Press (1977).

[7] R. Gillard, Formulations de la conjecture de Leopoldt et étude d'une condition suffisante, Abh. Math. Sem. Hamburg, 48 (1979), 125-138. | MR | Zbl

[8] G. Gras, Groupe de Galois de la p-extension abélienne p-ramifiée maximale d'un corps de nombres, J. reine angew. Math., 333 (1982), 82-132. | MR | Zbl

[9] G. Gras, Logarithme p-adique et groupes de Galois, J. reine angew. Math., 343 (1983), 64-80. | MR | Zbl

[10] G. Gras, Sur les Z2-extensions d'un corps quadratique imaginaire, Ann. Inst. Fourier, 33-4 (1983), 1-18. | Numdam | MR | Zbl

[11] R. Greenberg, On the Iwasawa invariants of totally real number fields, Amer. J. Math., 98 (1976), 263-284. | MR | Zbl

[12] K. Haberland, " Galois cohomology of algebraic number fields ", Deutscher Verlag der Wissen., Berlin (1978). | MR | Zbl

[13] K. Iwasawa, On Zl-extensions of algebraic number fields, Ann. Math., 98 (1973), 246-326. | MR | Zbl

[14] J.-F. Jaulent, Théorie de Kummer et K2 des corps de nombres, prépublication. | Numdam | Zbl

[15] K. Krammer et A. Candiotti, On K2 and Zl-extensions of number fields, Amer. J. Math., 100-1 (1978), 177-196. | Zbl

[16] S. Lichtenbaum, Values of zeta functions, étale cohomology and algebraic K-theory, dans " Algebraic K-theory II ", Springer Lect. Notes in Math., n° 342 (1973). | MR | Zbl

[17] H. Miki, On the maximal Abelian l-extension of a finite algebraic number field with given ramification, Nagoya Math. J., 70 (1978), 183-202. | MR | Zbl

[18] O. Neumann, On p-closed number fields and an analogue of Riemann's existence theorem, dans " Algebraic Number Fields ", Proc. Sympos. Durham, Academic Press (1977). | Zbl

[19] T. Nguyen-Quang-Do, Sur la structure galosienne des corps locaux et la théorie d'Iwasawa, Compos. Math., 46, 1 (1982), 85-119. | Numdam | Zbl

[20] T. Nguyen-Quang-Do, Résidu en s = 1 de certaines fonctions d'Iwasawa, Groupe d'Étude Analyse Ultra-métrique, Mars 1984. | Numdam | Zbl

[21] J.-P. Serre, " Cohomologie galoisienne ", Springer Lect. Notes in Math., n° 5 (1964). | Zbl

[22] C. Soulé, K-théorie des anneaux d'entiers de corps de nombres et cohomologie étale, Invent. Math., 55,3(1979), 251-295. | MR | Zbl

[23] J. Tate, Relations between K2 and Galois cohomology, Invent. Math., 36 (1976), 257-274. | MR | Zbl

[24] J. Tate, Letter to Iwasawa, dans " Algebraic K-theory II ", Springer Lect. Notes in Math., n° 342 (1973). | Zbl

[25] K. Wingberg, Duality theorems for Γ-extensions of algebraic number fields, à paraître dans Compos. Math. | Numdam | Zbl