Galois co-descent for étale wild kernels and capitulation
Annales de l'Institut Fourier, Tome 50 (2000) no. 1, pp. 35-65.

Soient F un corps de nombres et o F l’anneau des entiers de F. Pour un nombre premier fixé p et i2, les noyaux sauvages étales WK 2i-2 e ´t (F) sont définis comme étant les noyaux de certaines applications de localisation des groupes de cohomologie étale de spec o F [1 p] à coefficients dans le i-ème “tordu” de Tate de Z p . Ces groupes sont finis et coïncident, pour i=2, avec la partie p-primaire du noyau sauvage classique WK 2 (F). Ces noyaux sauvages WK 2i-2 e ´t (F) jouent des rôles symétriques aux p-parties du groupe des classes de F. Pour le groupe des classes, la co-descente galoisienne dans une extension cyclique L/F est décrite par la formule des classes ambiges donnée par la théorie des genres. Dans cette formule, le seul facteur qu’on maîtrise difficilement est l’indice normique [U F :U F N L/F (L * )] pour les p-unités U F . Le but principal de cet article est l’étude de la co-descente galoisienne pour les noyaux sauvages : Étant donnée une extension cyclique L/F de degré p de groupe de Galois G, on montre que l’application de transfert WK 2i-2 e ´t (L) G WK 2i-2 e ´t (F) est surjective sauf dans un cas très particulier, puis on réalise son noyau comme le conoyau d’un certain cup-produit à valeurs dans un groupe de Brauer. La méthode permet également d’obtenir pour les noyaux sauvages une formule analogue à celle des classes ambiges où les p-unités U F sont remplacées par les groupes de K-théorie impairs. Lorsque p est impair, cette formule permet de trouver toutes les p-extensions de Q pour lesquelles la p-partie du noyau sauvage classique est triviale. Pour p5, elles s’avèrent être celles qui sont contenues dans la Z p -extension cyclotomique de Q.

Let F be a number field with ring of integers o F . For a fixed prime number p and i2 the étale wild kernels WK 2i-2 e ´t (F) are defined as kernels of certain localization maps on the i-fold twist of the p-adic étale cohomology groups of spec o F [1 p]. These groups are finite and coincide for i=2 with the p-part of the classical wild kernel WK 2 (F). They play a role similar to the p-part of the p-class group of F. For class groups, Galois co-descent in a cyclic extension L/F is described by the ambiguous class formula given by genus theory. In this formula, the only factor which is not well mastered is the norm index [U F :U F N L/F (L * )] for the p-units U F . The aim of this paper is the study of the Galois co-descent for wild kernels: Given a cyclic extension L/F of degree p with Galois group G, we show that the transfer map WK 2i-2 e ´t (L) G WK 2i-2 e ´t (F) is onto except in a very special case, then we determine its kernel as the cokernel of a certain cup-product with values in a Brauer group. This approach also yields a genus formula, analogous to the one for class groups, comparing the sizes of WK 2i-2 e ´t (L) G and WK 2i-2 e ´t (F) where p-units U F are replaced by odd K-theory groups. When p is odd, we illustrate the method by finding all Galois p-extensions of Q, for which the p-part of the classical wild kernel is trivial. For p5,they turn out to be the layers of the cyclotomic Z p -extension of Q.

@article{AIF_2000__50_1_35_0,
     author = {Kolster, Manfred and Movahhedi, Abbas},
     title = {Galois co-descent for \'etale wild kernels and capitulation},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {35--65},
     publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier},
     volume = {50},
     number = {1},
     year = {2000},
     doi = {10.5802/aif.1746},
     mrnumber = {2001d:11115},
     zbl = {0951.11029},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1746/}
}
TY  - JOUR
AU  - Kolster, Manfred
AU  - Movahhedi, Abbas
TI  - Galois co-descent for étale wild kernels and capitulation
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 2000
SP  - 35
EP  - 65
VL  - 50
IS  - 1
PB  - Association des Annales de l’institut Fourier
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1746/
DO  - 10.5802/aif.1746
LA  - en
ID  - AIF_2000__50_1_35_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Kolster, Manfred
%A Movahhedi, Abbas
%T Galois co-descent for étale wild kernels and capitulation
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 2000
%P 35-65
%V 50
%N 1
%I Association des Annales de l’institut Fourier
%U http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1746/
%R 10.5802/aif.1746
%G en
%F AIF_2000__50_1_35_0
Kolster, Manfred; Movahhedi, Abbas. Galois co-descent for étale wild kernels and capitulation. Annales de l'Institut Fourier, Tome 50 (2000) no. 1, pp. 35-65. doi : 10.5802/aif.1746. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1746/

[1] J. Assim, Sur la p-nullité de certains noyaux de la K-théorie, Thèse, Université de Franche-Comté, 1994.

[2] J. Assim, Codescente en K-théorie étale et corps de nombres, Manuscripta Math., 86 (1995) 499-518. | MR | Zbl

[3] G. Banaszak, Generalization of the Moore exact sequence and the wild kernel for higher K-groups, Compositio Math., 86 (1993), 281-305. | Numdam | MR | Zbl

[4] A. Borel, Cohomologie de SLn et valeurs de fonctions zêta aux points entiers, Ann. Scuola Normale Sup. Pisa, Ser. 4, 4 (1977), 613-636. | Numdam | MR | Zbl

[5] B. Brauckmann, Étale K-theory and Iwasawa-theory of number fields, Thesis McMaster University, 1993.

[6] J. Browkin, A. Schinzel, On Sylow 2-subgroups of K2OF for quadratic number fields F, J. Reine Angew. Math., 331 (1982), 104-113. | MR | Zbl

[7] J. Coates, p-adic L-functions and Iwasawa's theory in: Algebraic Number Fields (ed. by A. Fröhlich), Academic Press, London, 1977, 269-353. | MR | Zbl

[8] W.-G. Dwyer, E.M. Friedlander, Algebraic and étale K-theory, Trans. AMS 292, No. 1 (1985), 247-280. | MR | Zbl

[9] L. Federer, B.H. Gross (with an appendix by W. Sinnott), Regulators and Iwasawa modules, Invent. Math., 62 (1981), 443-457. | MR | Zbl

[10] G. Gras, J.-F. Jaulent, Sur les corps de nombres réguliers, Math. Z., 202 (1989), 343-365. | MR | Zbl

[11] R. Greenberg, On the Iwasawa invariants of totally real fields, Amer. J. Math., 98, (1976), 263-284. | MR | Zbl

[12] J. Hurrelbrink, M. Kolster, Tame kernels under relative quadratic extensions and Hilbert symbols, J. Reine Angew. Math., 499 (1998) 145-188. | MR | Zbl

[13] K. Iwasawa, On ℤl-extensions of algebraic number fields, Ann. of Math., 98 (1973), 246-326. | MR | Zbl

[14] J.-F. Jaulent, Classes logarithmiques des corps de nombres, J. Théor. Nombres Bordeaux, 6 (1994), 301-325. | Numdam | MR | Zbl

[15] B. Kahn, On the Lichtenbaum-Quillen Conjecture in: Algebraic K-theory and Algebraic Topology (ed. by J.F. Jardine), Nato Proc. Lake Louise 407, Kluwer 1993, 147-166. | Zbl

[16] B. Kahn, Descente galoisienne et K2 des corps de nombres, K-theory, 7 (1993), 55-100. | MR | Zbl

[17] B. Kahn, Deux théorèmes de comparaison en cohomologie étale ; applications, Duke Math. J., 69 (1993) 137-165. | MR | Zbl

[18] B. Kahn, The Quillen-Lichtenbaum Conjecture at the prime 2, preprint, 1997. | Zbl

[19] M. Kolster, An idelic approach to the wild kernel, Invent. Math., 103 (1991), 9-24. | MR | Zbl

[20] M. Kolster, Remarks on étale K-theory and Leopoldt's Conjecture in: Séminaire de Théorie des Nombres, Paris, 1991-1992, Progress in Mathematics 116, Birkhäuser 1993, 37-62. | Zbl

[21] L. V. Kuz'Min, The Tate module for algebraic number fields, Math., USSR Izv., 6, No. 2 (1972), 263-321. | MR | Zbl

[22] A. S. Merkurjev and A. A. Suslin, The group K3 for a field, Math., USSR Izv., 36, No. 3 (1991), 541-565. | Zbl

[23] J. Milnor, Introduction to Algebraic K-Theory, Annals of Mathematics Studies 72, Princeton University Press, Princeton, 1971. | MR | Zbl

[24] A. Movahhedi, Sur les p-extensions des corps p-rationnels, Thèse Paris 7, 1988.

[25] A. Movahhedi et T. Nguyen Quang Do, Sur l'arithmétique des corps de nombres p-rationnels in Séminaire de Théorie des nombres, Paris 1988-1989, Birkhäuser 1990, 155-200. | Zbl

[26] T. Nguyen Quang Do, Sur la ℤp-torsion de certains modules galoisiens, Ann. Inst. Fourier, 36-2 (1986), 27-46. | Numdam | MR | Zbl

[27] T. Nguyen Quang Do, Sur la cohomologie de certains modules galoisiens p-ramifiés, Théorie des nombres, J.-M. De Koninck et C. Levesque (éd.), C. R. Conf. Int., Quebec/Can. 1987, 740-754 (1989). | Zbl

[28] T. Nguyen Quang Do, K3 et formules de Riemann-Hurwitz p-adiques, K-Theory, 7 (1993), 429-441. | MR | Zbl

[29] T. Nguyen Quang Do, Analogues supérieurs du noyau sauvage in Séminaire de Théorie des Nombres, Bordeaux, 4 (1992), 263-271. | Numdam | Zbl

[30] J. Rognes, Approximating K*(ℤ) through degree five, K-Theory, 7 (1993), 175-200. | MR | Zbl

[31] J. Rognes, K4 (ℤ) is the trivial group, preprint, 1998. | Zbl

[32] J. Rognes, C. Weibel, Two-primary Algebraic K-Theory of rings of integers in number fields, J. Amer. Math. Soc., to appear. | Zbl

[33] P. Schneider, Über gewisse Galoiskohomologiegruppen, Math. Z., 168 (1979), 181-205. | MR | Zbl

[34] J.-P. Serre, Corps Locaux, Hermann, Paris, 1968.

[35] J.-P. Serre, Cohomologie Galoisienne, LNM 5, Springer, 1964. | Zbl

[36] C. Soulé, K-théorie des anneaux d'entiers de corps de nombres et cohomologie étale, Inv. Math., 55 (1979), 251-295. | MR | Zbl

[37] K. Wingberg, On the product formula in Galois groups, J. Reine Angew. Math., 368 (1986), 172-183. | MR | Zbl

Cité par Sources :