Opérateurs dissipatifs et semi-groupes dans les espaces de fonctions continues
Annales de l'Institut Fourier, Tome 26 (1976) no. 4, pp. 1-97.

Soit X un espace localement compact. Tout opérateur dissipatif de domaine dense dans C0((X) est limite d’opérateurs dissipatifs bornés. Ce résultat permet, dans le cas où X est un espace homogène, de démontrer que tout opérateur dissipatif, de domaine dense et invariant sur C0(X) se prolonge en le générateur infinitésimal d’un semi-groupe à contraction invariant sur C0(X).

À tout opérateur A vérifiant le principe du maximum positif sur C0(X,R) et de domaine assez riche, on associe un opérateur bilinéaire B, appelé opérateur carré du champ, défini par

f,gD(A),B(f,g)=A(fg)-fA(g)-gA(f).

B vérifie la propriété remarquable suivante : pour toute mesure positive bornée μ sur X,(f,g)B(f,g)dμ est une forme de Dirichlet définie sur D(A).

Si A est le générateur local d’un semi-groupe de Feller sur C0(X), on définit, pour des ouverts Ω de X suffisamment réguliers, la restriction de A à Ω. Cette restriction est le générateur d’un semi-groupe de Feller sur C0(Ω).

Let X be a locally compact space. Any dissipative operator densely defined in C0(X) is a limit of bounded dissipative operators. When X is an homogeneous space then this result allows us to prove that any invariant dissipative and densely defined operator on C0(X) extends itself into the infinitesimal generator of an invariant semigroup in C0(X).

To every operator A which satisfies to the positive maximum principle in C0(X,R) and so that D(A) is rich enough, is associated a bilinear operator B called “opérateur carré du champ" which is defined as follows:

f,gD(A),B(f,g)=A(fg)-fA(g)-gA(f).

B satisfies to the remarkable property that for any positive bounded measure μ on X,(f,g)B(f,g)dμ is a Dirichlet form on D(A).

If A is the local generator of a Feller’s semigroup in C0(X), the restriction of A to Ω is defined for any sufficiently regular open set Ω. This restriction is the generator of a Feller’s semigroup in C0(Ω).

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Roth, Jean-Pierre. Opérateurs dissipatifs et semi-groupes dans les espaces de fonctions continues. Annales de l'Institut Fourier, Tome 26 (1976) no. 4, pp. 1-97. doi : 10.5802/aif.632. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.632/

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