Opérateurs dissipatifs et semi-groupes dans les espaces de fonctions continues

Roth, Jean-Pierre

Annales de l'Institut Fourier, Tome 26 (1976) no. 4, pp. 1-97.

Soit $X$ un espace localement compact. Tout opérateur dissipatif de domaine dense dans $C^0\left(\right(X)$ est limite d’opérateurs dissipatifs bornés. Ce résultat permet, dans le cas où $X$ est un espace homogène, de démontrer que tout opérateur dissipatif, de domaine dense et invariant sur $C^0\left(X\right)$ se prolonge en le générateur infinitésimal d’un semi-groupe à contraction invariant sur $C^0\left(X\right)$.

À tout opérateur $A$ vérifiant le principe du maximum positif sur $C^0(X,\mathbf{R})$ et de domaine assez riche, on associe un opérateur bilinéaire $B$, appelé opérateur carré du champ, défini par

$$\forall f,g\in D\left(A\right),B(f,g)=A\left(fg\right)-fA\left(g\right)-gA\left(f\right).$$

$B$ vérifie la propriété remarquable suivante : pour toute mesure positive bornée $\mu$ sur $X,(f,g)\mapsto \int B(f,g)d\mu$ est une forme de Dirichlet définie sur $D\left(A\right)$.

Si $A$ est le générateur local d’un semi-groupe de Feller sur $C^0\left(X\right)$, on définit, pour des ouverts $\Omega$ de $X$ suffisamment réguliers, la restriction de $A$ à $\Omega$. Cette restriction est le générateur d’un semi-groupe de Feller sur $C^0\left(\Omega \right)$.

Let $X$ be a locally compact space. Any dissipative operator densely defined in $C^0\left(X\right)$ is a limit of bounded dissipative operators. When $X$ is an homogeneous space then this result allows us to prove that any invariant dissipative and densely defined operator on $C^0\left(X\right)$ extends itself into the infinitesimal generator of an invariant semigroup in $C^0\left(X\right)$.

To every operator $A$ which satisfies to the positive maximum principle in $C^0(X,\mathbf{R})$ and so that $D\left(A\right)$ is rich enough, is associated a bilinear operator $B$ called “opérateur carré du champ" which is defined as follows:

$$\forall f,g\in D\left(A\right),B(f,g)=A\left(fg\right)-fA\left(g\right)-gA\left(f\right).$$

$B$ satisfies to the remarkable property that for any positive bounded measure $\mu$ on $X,(f,g)\mapsto \int B(f,g)d\mu$ is a Dirichlet form on $D\left(A\right)$.

If $A$ is the local generator of a Feller’s semigroup in $C^0\left(X\right)$, the restriction of $A$ to $\Omega$ is defined for any sufficiently regular open set $\Omega$. This restriction is the generator of a Feller’s semigroup in $C^0\left(\Omega \right)$.

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