Existence et approximation des solutions des équations aux dérivées partielles et des équations de convolution

Malgrange, Bernard

Annales de l'Institut Fourier, Tome 6 (1956), pp. 271-355.

Le premier chapitre est consacré (aux équations aux dérivées partielles à coefficients constants. Une telle équation possède toujours une solution élémentaire $E$ possédant la propriété suivante : si $f$ est une fonction de carré sommable à support compact, $E*f$ est une fonction localement de carré sommable.

Dans tout ouvert convexe, une équation dont le second membre est indéfiniment différentiable (resp. localement de carré sommable) admet une solution indéfiniment différentiable (resp. localement de carré sommable).

Les solutions d’une équation homogène dans un ouvert convexe sont limites de combinaisons linéaires des exponentielles-polynômes solutions.

Le second chapitre est consacré aux équations de convolution homogène dont le noyau est à support compact : toute solution d’une telle équation est limite de combinaisons linéaires des exponentielles-polynômes solutions (ce qui généralise aux fonctions de plusieurs variables une partie des résultats de Delsarte et Schwartz sur les fonctions moyennes-périodiques).

Le troisième chapitre est consacré aux équations elliptiques (appelées ici : équations du type $\left(P\right)$, à valeurs dans des espaces fibrés à fibre vectorielle de base non compacte : on fait l’hypothèse suivante : toute solution de l’équation (homogène, transposée, nulle sur un ouvert, est identiquement nulle (hypothèse vérifiée, par exemple, si l’équation est à coefficients analytiques). Alors :

a) Toute équation avec second membre admet une solution.

b) Toute solution de l’équation homogène dans un ouvert est limite de solutions dans tout l’espace si et seulement si le complémentaire de cet ouvert n’a pas de composantes connexes compactes.

Application : sur un espace de Riemann analytique, on peut calculer la cohomologie avec les formes différentielles à coefficients analytiques.

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