Résumé des résultats essentiels dans la théorie des produits tensoriels topologiques et des espaces nucléaires

Grothendieck, Alexander

Annales de l'Institut Fourier, Tome 4 (1952), pp. 73-112.

L’auteur donne un résumé des résultats essentiels de son travail “Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires” (à paraître dans Memoirs of the Am. Math. Soc.), en essayant de faire ressortir les idées directrices. Soient $E$ et $F$ deux espaces localement convexes, on définit d’abord deux topologies naturelles sur $E\otimes F$, qui donnent des complétés $E\widehat{\otimes }F$ et $E\widehat{}\widehat{\otimes }F$, qu’on explicite dans divers cas importants, et dont on élucide les propriétés algébrico-topologiques, notamment à l’égard de la notion de produit tensoriel d’applications linéaires continues. Le dual de $E\widehat{\otimes }F$ est l’espace des formes bilinéaires continues sur $E\times F$, tandis que le dual de $E\widehat{}\widehat{\otimes }F$ est formé des formes bilinéaires continues sur $E\times F$ pouvant s’exprimer par certaines intégrales, et appelées pour cela formes bilinéaires intégrales. Il leur correspond la classe des applications linéaires intégrales, ayant de nombreuses propriétés spéciales. Si $E$ est tel que $E\widehat{\otimes }F=E\widehat{}\widehat{\otimes }F$ quel que soit $F$, on dit que $E$ est nucléaire. Il possède alors des propriétés extrêmement spéciales, généralisant et précisant celles de l’espace $\left(ℰ\right)$ de L. Schwartz, notamment dans la théorie des applications linéaires continues. Dans trois appendices, l’auteur dit quelques mots sur certaines questions spéciales liées à la théorie, dont des questions d’approximation équivalentes à la question d’approximation des opérateurs compacts par des opérateurs continus de rang fini.

[1] N. Bourbaki, Algèbre multilinéaire, Act. Sc. Ind., 1044, Paris (Hermann).

[2] N. Bourbaki, Intégration, Act. Sc. Ind., 1175, Paris (Hermann). | Zbl

[3] J. Dieudonné et L. Schwartz, La dualité dans les espaces (F) et (DF), Annales de Grenoble, I, (1949), pp. 61-101. | Numdam | MR | Zbl

[4] J. Dixmier, Les fonctionnelles linéaires sur l'ensemble des opérateurs bornés d'un espace de Hilbert, Annals of Math., 51 (1950), pp. 387-408. | MR | Zbl

[5] A. Grothendieck, Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires à paraître aux Memoirs of the Amer. Math. Soc. | Zbl

[6] A. Grothendieck, Sur les espaces (F) et (DF), à paraître dans Summa Brasiliensis Mathematicae. | Zbl

[7] G. Köthe, Die Stufenräume, eine einfache Klasse linearer vollkommener Räume, Math. Zeitschrift, 51 (1948), pp. 317-345. | Zbl

[8] R. Schatten, A theory of cross-spaces, Princeton University Press, 1950. | MR | Zbl

[9] L. Schwartz, Théorie des distributions, t. 1 et 2, Act. Sc. et Ind., 1091 et 1122, Paris (Hermann).