Sur quelques problèmes d'unicité et de prolongement relatifs aux fonctions approchables par des sommes d'exponentielles

Kahane, Jean-Pierre

Annales de l'Institut Fourier, Tome 5 (1954), pp. 39-130.

$\Lambda$ étant une suite de nombres complexes ${\lambda }_j$ $(0<|{\lambda }_1|\le |{\lambda }_2|...)$, on désigne par ${ℰ}_I\left(\Lambda \right)$ (resp. ${ℰ}_K\left(\Lambda \right))$ l’ensemble des fonctions $f\left(x\right)$ (resp. $f\left(z\right)$) définies sur un segment $I$ (resp. sur un compact $K$ du plan complexe) et uniformément approchables sur $I$ (resp. sur $K$) par des combinaisons linéaires ${\sum }_1^N{a}_{j,N}{e}^{i{\lambda }_{j}x}\left(\mathrm{resp}.{\sum }_4^N{a}_{j,N}{e}^{i{\lambda }_{j}z}\right)$. On désigne par $ℰ\left(\Lambda \right)$ l’ensemble des fonctions continues) sur la droite dont les restrictions à tout segment $I$ appartiennent à ${ℰ}_I\left(\Lambda \right)$, par ${ℰ}_{\Omega }\left(P\right)$ l’ensemble des fonctions (holomorphes) sur un ouvert $\Omega$ du plan complexe dont les restrictions à tout compact $K\subset \Omega$ appartiennent à ${ℰ}_K\left(\Lambda \right)$.

Le chapitre I débute par un exposé rapide des principales propriétés de $ℰ\left(\Lambda \right)$, à partir des “transformées de Fourier-Carleman” des fonctions moyenne-périodiques de L. Schwartz. Il est ensuite consacré aux problèmes de l’unicité d’une fonction de $ℰ\left(\Lambda \right)$ définie par ses valeurs sur un segment (1), ou par ses valeurs approchées au voisinage d’un point (2), ou par les valeurs de ses dérivées successives en un point (3), et du prolongement d’une fonction de ${ℰ}_I\left(\Lambda \right)$ en une fonction de $ℰ\left(\Lambda \right)$ (4). Chacun de ces problèmes est justiciable de différentes méthodes, qui fournissent des résultats faisant intervenir diverses fonctions, ou quantités, attachées à $\Lambda$. Ainsi, dans la solution du problème (1) intervient la densité minimum de $\Lambda$, tandis que dans les solutions données au problème (4) interviennent la densité maximum et la “densité de répartition”. Les solutions aux problèmes (2) et (3) font intervenir la rareté, ou la lacunarité de $\Lambda$, soit dans le plan, soit sur la droite réelle, soit sur une demi-droite. À titre d’exemple, voici un résultat obtenu : pour que les relations $f\in ℰ\left(\Lambda \right)$, $f^{\left(n\right)}\left(0\right)=0$, $\max \left|f^{\left(n\right)}\left(x\right)\right|<{ℳ}_n$ $(n=0,1,...)$ entraînent $f\equiv 0$, il suffit que ${lim}_{n\to \infty }\frac{{\mathbf{M}}_n}{|{\lambda }_1...{\lambda }_{n+1}|}=0$ ; si $\Lambda$ est assez rare, cette condition est nécessaire.

Au début du chapitre II sont examinés quelques problèmes généraux concernant ${ℰ}_{\Omega }\left(\Lambda \right)$ ; par exemple, la recherche des conditions nécessaires et de conditions suffisantes pour que ${ℰ}_{\Omega }\left(\Lambda \right)$ contienne toutes les fonctions holomorphes dans $\Omega$. L’essentiel du chapitre traite du problème de prolongement suivant : $\Omega$ et $\Lambda$ étant donnés, trouver un ouvert $G\supset \Omega$ tel que toute fonction de ${ℰ}_{\Omega }\left(\Lambda \right)$ soit prolongeable en une fonction de ${ℰ}_G\left(\Lambda \right)$ ; un principe de prolongement très simple permet, en résolvant ce problème, d’obtenir très rapidement des indications sur les singularités des séries de Dirichlet, des fonctions presque-périodiques, des fonctions moyenne-périodiques analytiques. Les résultats font en général intervenir soit la densité maximum, soit la densité moyenne supérieure de $\Lambda$. Exemple : si $\Lambda$ est symétrique réelle, et a pour densité maximum $D$, si $\Omega$ est connexe et contient un segment $[a-i\pi D,a+i\pi D]$, toute fonction de ${ℰ}_{\Omega }\left(\Lambda \right)$ est prolongeable dans une bande verticale $B$ en une fonction presque périodique) de ${ℰ}_B\left(\Lambda \right)$, chaque segment de longueur $2\pi D$ porté par la frontière de $B$ contenant au moins un point singulier.

Les problèmes examinés au chapitre III sont, a priori, très différents des précédents. D’une part sont étudiées les questions de la théorie des fonctions d’une variable complexe auxquelles mènent les méthodes employées au chapitre I : extension d’un théorème de Mandelbrojt. Mac Lane sur les fonctions holomorphes dans une bande ; relation entre la croissance du module et la répartition des zéros et des pôles d’une fonction holomorphe dans un demi-plan. D’autre part, les techniques introduites sont appliquées à quelques problèmes d’approximation et d’unicité dans le champ réel (problèmes généralisés des moments, de l’approximation polynomiale, de la quasi-analyticité) ; les résultats, difficiles à exprimer sont proches de ceux obtenus par M. Mandelbrojt à l’aide de son inégalité fondamentale. Ce chapitre se termine avec la définition de nouvelles classes quasi-analytiques, en réponse à un problème qui généralise le problème (3) du chapitre I.

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[33] L. Schwartz: Approximation d'une fonction quelconque par des sommes d'exponentionnelles imaginaires, Ann. Toulouse 6 (1942) pp. 111-174. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

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[35] G. Valiron: Sur les solutions des équations différentielles linéaires à coefficients constants d'ordre infini, Annales E. N. S., 46 (1929). pp. 26-53. | EuDML | JFM | Numdam