La dualité dans les espaces $\left(ℱ\right)$ et $\left(ℒℱ\right)$

Dieudonné, Jean; Schwartz, Laurent

Annales de l'Institut Fourier, Tome 1 (1949), pp. 61-101.

L’objet du mémoire est l’extension des propriétés classiques des espaces de Banach à deux catégories d’espaces plus vastes, qui interviennent de manière essentielle dans la théorie des Distributions : les espaces $\left(ℱ\right)$, qui sont définis comme les espaces localement convexes, métrisables et complets, et les espaces $\left(ℒℱ\right)$ qui s’obtiennent à partir des espaces $\left(ℱ\right)$ par un processus de “limite inductive” : un tel espace est réunion d’une suite croissante $\left(F_n\right)$ d’espaces $\left(ℱ\right)$, muni de la topologie la plus fine induisant sur chacun des $F_n$ sa topologie propre. Pour un tel espace $E$, on définit son dual $E^{\prime }$ comme l’espace vectoriel de toutes les formes linéaires $x^{\prime }$ continues dans $E$, et on pose $\langle x,x^{\prime }\rangle =x^{\prime }\left(x\right)$ pour $x\in E$, $x^{\prime }\in E^{\prime }$. Pour développer la théorie de la dualité, on munit $E^{\prime }$ d’une topologie (dite topologie forte) définie de la façon suivante : un ensemble $B$ dans un espace vectoriel topologique étant dit borné quand tout voisinage de $0$ contient un homothétique de $B$ (dans un rapport $>0$ assez petit), la topologie forte sur $E^{\prime }$ est la topologie de la convergence uniforme des formes linéaires dans tous les ensembles bornés de $E$. Il y a alors une dualité remarquable entre ensembles bornés et voisinages de 0 dans les deux espaces $E$ et $E^{\prime }$ : appelons polaire d’un ensemble $A\subset E$ (resp. $A^{\prime }\subset E^{\prime }$) l’ensemble $A^0\subset E^{\prime }$ (resp. $A^{\prime 0}\subset E$) formé des $x^{\prime }\in E^{\prime }$ (resp. $x\in E$) tels que $|\langle x,x^{\prime }\rangle |\le 1$ pour tout $x\in A$ (resp. tout $x^{\prime }\in A^{\prime }$) ; alors les polaires des ensembles bornés dans $E$ (resp. $E^{\prime }$) sont les voisinages de 0 dans $E^{\prime }$ (resp. $E$) et réciproquement. Grâce à cette propriété fondamentale, on peut développer, comme dans les espaces de Banach, les relations entre dualité forte et dualité faible, obtenir entre autres la condition pour qu’un espace $\left(ℱ\right)$ ou $\left(ℒℱ\right)$ soit réflexif (c’est-à-dire identique au dual de son dual fort), étudier la dualité des sous-espaces et espaces quotients, et les fonctions linéaires et bilinéaires définies dans des espaces $\left(ℱ\right)$ ou $\left(ℒℱ\right)$ ou dans leurs duals ; les résultats généralisant presque complètement les propriétés correspondantes des espaces de Banach.

[1] R. Arens, Duality in linear spaces, Duke Math. Journ., t. 14 (1947), p. 787-794. | MR | Zbl

[2] S. Banach, Théorie des opérations linéaires, Warszawa, 1932. | JFM | Zbl

[3] N. Bourbaki, Éléments de Mathématique, livre II : Algèbre (Act. Scient. et Ind., nos 934, 1032 et 1044, Paris (Hermann), 1943-1948).

[4] N. Bourbaki, Éléments de Mathématique, livre III : Topologie générale (Act. Scient. et Ind., nos 858, 916, 1029, 1045 et 1084, Paris (Hermann), 1940-1949).

[5] J. Dieudonné, La dualité dans les espaces vectoriels topologiques, Annales de l'École Normale Supérieure, t. 59 (1942), p. 107-139. | JFM | Numdam | MR | Zbl

[6] J. Dieudonné, Natural homomorphisms in Banach spaces, Proceedings of the American Mathematical Society, t. 56 (1950). | MR | Zbl

[7] W. F. Eberlein, Weak compactness in Banach spaces, I, Proceedings of the National Academy of Sciences, t. 33 (1947), p. 51-53. | MR | Zbl

[8] V. Ganapathy Iyer, On the space of integral functions, I, Journal of the Indian Mathematical Society, t. 12 (1948), p. 13-30. | MR | Zbl

[9] A. Kolmogoroff, Zur Normierbarkeit eines allgemeinen topologischen linearen Raumes, Studia Mathematica, t. 5 (1935), p. 29-33. | EuDML | JFM | Zbl

[10] G. Köthe, Die Stufenraüme, eine einfache Klasse linearer vollkommener Raüme, Mathematische Zeitschrift, t. 51 (1948), p. 317-345. | EuDML | Zbl

[11] G. W. Mackey, On infinite-dimensional linear spaces, Transactions of the American Mathematical Society, t. 57 (1945), p. 155-207. | MR | Zbl

[12] G. W. Mackey, On convex topological linear spaces, Transactions of the American Mathematical Society, t. 60 (1946), p. 520-537. | MR | Zbl

[13] L. Schwartz, Théorie des Distributions, Paris, Hermann, 1950. | MR | Zbl

[14] V. Šmulian, Über lineare topologische Raüme, Mat. Sbornik, N. S., t. 7 (1941), p. 425-448. | JFM | MR | Zbl