Asymptotic geometry of negatively curved manifolds of finite volume

Dal'Bo, Françoise; Peigné, Marc; Picaud, Jean-Claude; Sambusetti, Andrea

doi:10.24033/asens.2413

Asymptotic geometry of negatively curved manifolds of finite volume
[Géométrie asymptotique des variétés de volume fini à courbure négative]

Dal'Bo, Françoise ; Peigné, Marc ; Picaud, Jean-Claude ; Sambusetti, Andrea

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 52 (2019) no. 6, pp. 1459-1485.

Le texte intégral des articles récents est réservé aux abonnés de la revue. Consultez l'article sur le site de la revue.

Résumé
Abstract

Nous décrivons le comportement asymptotique de variétés Riemanniennes simplement connexes $X$ à courbure strictement négative, dont le groupe d'isométries contient des sous-groupes discrets $Γ$ de co-volume fini. Plus précisément, nous montrons que lorsque la courbure est asymptotiquement 1/4-pincée, le groupe $Γ$ est alors divergent et la mesure de Bowen-Margulis associée est finie; de plus, le volume des boules $B (x, R)$ de $X$ est asymptotiquement équivalent à la fonction $c (x) e^{δ R}$ , où $δ$ désigne l'exposant de Poincaré de $Γ$ . Ce résultat généralise le célèbre théorème de Margulis au cas des réseaux non-uniformes. Nous construisons aussi toute une série d'exemples de variétés $X$ à courbure strictement négative mais non asymptotiquement 1/4-pincée, pour lesquels le volume des boules $B (x, R)$ de $X$ ne croît pas toujours de façon purement exponentielle.

We study the asymptotic behavior of simply connected Riemannian manifolds $X$ of strictly negative curvature admitting a non-uniform lattice $Γ$ . If the quotient manifold $\bar{X} = Γ ∖ X$ is asymptotically $1 / 4$ -pinched, we prove that $Γ$ is divergent and $U \bar{X}$ has finite Bowen-Margulis measure (which is then ergodic and totally conservative with respect to the geodesic flow); moreover, we show that, in this case, the volume growth of balls $B (x, R)$ in $X$ is asymptotically equivalent to a purely exponential function $c (x) e^{δ R}$ , where $δ$ is the topological entropy of the geodesic flow of $\bar{X}$ . This generalizes Margulis' celebrated theorem to negatively curved spaces of finite volume. In contrast, we exhibit examples of lattices $Γ$ in negatively curved spaces $X$ (not asymptotically $1 / 4$ -pinched) where, depending on the critical exponent of the parabolic subgroups and on the finiteness of the Bowen-Margulis measure, the growth function is exponential, lower-exponential or even upper-exponential.

MR Zbl

DOI : 10.24033/asens.2413

Classification : 53C20, 37C35
Mots-clés : Cartan-Hadamard manifold, volume, entropy, Bowen-Margulis measure

@article{ASENS_2019__52_6_1459_0,
     author = {Dal'Bo, Fran\c{c}oise and Peign\'e, Marc and Picaud, Jean-Claude and Sambusetti, Andrea},
     title = {Asymptotic geometry of negatively curved manifolds of finite volume},
     journal = {Annales scientifiques de l'\'Ecole Normale Sup\'erieure},
     pages = {1459--1485},
     publisher = {Soci\'et\'e Math\'ematique de France. Tous droits r\'eserv\'es},
     volume = {Ser. 4, 52},
     number = {6},
     year = {2019},
     doi = {10.24033/asens.2413},
     mrnumber = {4061022},
     zbl = {1479.53045},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.24033/asens.2413/}
}

TY  - JOUR
AU  - Dal'Bo, Françoise
AU  - Peigné, Marc
AU  - Picaud, Jean-Claude
AU  - Sambusetti, Andrea
TI  - Asymptotic geometry of negatively curved manifolds of finite volume
JO  - Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure
PY  - 2019
SP  - 1459
EP  - 1485
VL  - 52
IS  - 6
PB  - Société Mathématique de France. Tous droits réservés
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.24033/asens.2413/
DO  - 10.24033/asens.2413
LA  - en
ID  - ASENS_2019__52_6_1459_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Dal'Bo, Françoise
%A Peigné, Marc
%A Picaud, Jean-Claude
%A Sambusetti, Andrea
%T Asymptotic geometry of negatively curved manifolds of finite volume
%J Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure
%D 2019
%P 1459-1485
%V 52
%N 6
%I Société Mathématique de France. Tous droits réservés
%U http://www.numdam.org/articles/10.24033/asens.2413/
%R 10.24033/asens.2413
%G en
%F ASENS_2019__52_6_1459_0

Dal'Bo, Françoise; Peigné, Marc; Picaud, Jean-Claude; Sambusetti, Andrea. Asymptotic geometry of negatively curved manifolds of finite volume. Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 52 (2019) no. 6, pp. 1459-1485. doi : 10.24033/asens.2413. http://www.numdam.org/articles/10.24033/asens.2413/

Bibliographie
Cité par

Bonk, M.; Kleiner, B. Rigidity for quasi-Möbius group actions, J. Differential Geom., Volume 61 (2002), pp. 81-106 http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1090351321 (ISSN: 0022-040X) | MR | Zbl

Belegradek, I.; Kapovitch, V. Pinching estimates for negatively curved manifolds with nilpotent fundamental groups, Geom. Funct. Anal., Volume 15 (2005), pp. 929-938 (ISSN: 1016-443X) | DOI | MR | Zbl

Buser, P.; Karcher, H., Astérisque, 81, Société Mathématique de France, 1981, 148 pages | Numdam | MR | Zbl

Bowditch, B. H. Geometrical finiteness with variable negative curvature, Duke Math. J., Volume 77 (1995), pp. 229-274 (ISSN: 0012-7094) | DOI | MR | Zbl

Corlette, K.; Iozzi, A. Limit sets of discrete groups of isometries of exotic hyperbolic spaces, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 351 (1999), pp. 1507-1530 (ISSN: 0002-9947) | DOI | MR | Zbl

Courtois, G., Géométries à courbure négative ou nulle, groupes discrets et rigidités (Sémin. Congr.), Volume 18, Soc. Math. France, 2009, pp. 293-319 | MR | Zbl

Castillon, P.; Sambusetti, A. On asymptotically harmonic manifolds of negative curvature, Math. Z., Volume 277 (2014), pp. 1049-1072 (ISSN: 0025-5874) | DOI | MR | Zbl

Dal'bo, F.; Otal, J.-P.; Peigné, M. Séries de Poincaré des groupes géométriquement finis, Israel J. Math., Volume 118 (2000), pp. 109-124 (ISSN: 0021-2172) | DOI | MR | Zbl

Dal'bo, F.; Peigné, M. Groupes du ping-pong et géodésiques fermées en courbure $- 1$ , Ann. Inst. Fourier, Volume 46 (1996), pp. 755-799 (ISSN: 0373-0956) | DOI | Numdam | MR | Zbl

Dal'Bo, F.; Peigné, M.; Picaud, J.-C.; Sambusetti, A. On the growth of nonuniform lattices in pinched negatively curved manifolds, J. reine angew. Math., Volume 627 (2009), pp. 31-52 (ISSN: 0075-4102) | DOI | MR | Zbl

Dal'Bo, F.; Peigné, M.; Picaud, J.-C.; Sambusetti, A. On the growth of quotients of Kleinian groups, Ergodic Theory Dynam. Systems, Volume 31 (2011), pp. 835-851 (ISSN: 0143-3857) | DOI | MR | Zbl

Dal'bo, F.; Peigné, M.; Picaud, J.-C.; Sambusetti, A. Convergence and counting in infinite measure, Ann. Inst. Fourier, Volume 67 (2017), pp. 483-520 (ISSN: 0373-0956) | DOI | Numdam | MR | Zbl

Eberlein, P. B., Chicago Lectures in Mathematics, University of Chicago Press, 1996, 449 pages (ISBN: 0-226-18197-9; 0-226-18198-7) | MR | Zbl

Heintze, E.; Im Hof, H.-C. Geometry of horospheres, J. Differential Geom., Volume 12 (1977), pp. 481-491 http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214434219 (ISSN: 0022-040X) | MR | Zbl

Hersonsky, S.; Paulin, F. Counting orbit points in coverings of negatively curved manifolds and Hausdorff dimension of cusp excursions, Ergodic Theory Dynam. Systems, Volume 24 (2004), pp. 803-824 (ISSN: 0143-3857) | DOI | MR | Zbl

Knieper, G. Spherical means on compact Riemannian manifolds of negative curvature, Differential Geom. Appl., Volume 4 (1994), pp. 361-390 (ISSN: 0926-2245) | DOI | MR | Zbl

Knieper, G. On the asymptotic geometry of nonpositively curved manifolds, Geom. Funct. Anal., Volume 7 (1997), pp. 755-782 (ISSN: 1016-443X) | DOI | MR | Zbl

Margulis, G. A. Certain applications of ergodic theory to the investigation of manifolds of negative curvature, Funkcional. Anal. i Priložen., Volume 3 (1969), pp. 89-90 (ISSN: 0374-1990) | MR | Zbl

Otal, J.-P.; Peigné, M. Principe variationnel et groupes kleiniens, Duke Math. J., Volume 125 (2004), pp. 15-44 (ISSN: 0012-7094) | DOI | MR | Zbl

Peigné, M.; Sambusetti, A. Entropy rigidity of negatively curved manifolds of finite volume, Math. Z., Volume 293 (2019), pp. 609-627 (ISSN: 0025-5874) | DOI | MR | Zbl

Pollicott, M.; Sharp, R. Orbit counting for some discrete groups acting on simply connected manifolds with negative curvature, Invent. math., Volume 117 (1994), pp. 275-302 (ISSN: 0020-9910) | DOI | MR | Zbl

Roblin, T. Mémoires de la Société Mathématique de France. Nouvelle Série, Mém. Soc. Math. Fr., 95, 2003, 96 pages (ISSN: 0249-633X) | DOI | Numdam | MR | Zbl

Sambusetti, A. Asymptotic properties of coverings in negative curvature, Geom. Topol., Volume 12 (2008), pp. 617-637 (ISSN: 1465-3060) | DOI | MR | Zbl

Sullivan, D. The density at infinity of a discrete group of hyperbolic motions, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math., Volume 50 (1979), pp. 171-202 (ISSN: 0073-8301) | DOI | Numdam | MR | Zbl

Cité par Sources :