Singularities of $2\Theta$-divisors in the jacobian

Pauly, Christian; Previato, Emma

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 129 (2001) no. 3, pp. 449-485.

On considère le système linéaire $|2{\Theta }_0|$ des fonctions thêta d’ordre deux sur la jacobienne $JC$ d’une courbe non-hyperelliptique $C$. Un résultat de J.Fay affirme qu’un diviseur $D\in |2{\Theta }_0|$ contient l’origine $𝒪\in JC$ avec multiplicié $4$ si et seulement si $D$ contient la surface $C-C=\left\{𝒪\right(p-q)\mid p,q\in C\}\subset JC$. Dans cet article on généralise le résultat de Fay ainsi que quelques travaux de R.C.Gunning. On décrit la relation entre les diviseurs contenant $𝒪$ avec multiplicité $6$, les diviseurs contenant la sous-variété $C_2-C_2=\{𝒪(p+q-r-s)\mid p,q,r,s\in C\}$, et les diviseurs singuliers le long de $C-C$, en utilisant la troisième puissance extérieure de l’espace canonique et l’espace des quadriques contenant la courbe canonique. De plus on montre que certains sous-systèmes linéaires sont isomorphes aux enveloppes linéaires de lieux de Brill-Noether dans l’espace de modules des fibrés vectoriels semi-stables de rang $2$ et de déterminant canonique, qui sont plongés dans $|2{\Theta }_0|$.

We consider the linear system $|2{\Theta }_0|$ of second order theta functions over the Jacobian $JC$ of a non-hyperelliptic curve $C$. A result by J.Fay says that a divisor $D\in |2{\Theta }_0|$ contains the origin $𝒪\in JC$ with multiplicity $4$ if and only if $D$ contains the surface $C-C=\left\{𝒪\right(p-q)\mid p,q\in C\}\subset JC$. In this paper we generalize Fay’s result and some previous work by R.C.Gunning. More precisely, we describe the relationship between divisors containing $𝒪$ with multiplicity $6$, divisors containing the fourfold $C_2-C_2=\{𝒪(p+q-r-s)\mid p,q,r,s\in C\}$, and divisors singular along $C-C$, using the third exterior product of the canonical space and the space of quadrics containing the canonical curve. Moreover we show that some of these spaces are equal to the linear span of Brill-Noether loci in the moduli space of semi-stable rank $2$ vector bundles with canonical determinant over $C$, which can be embedded in $|2{\Theta }_0|$.

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