Singularities of $2\Theta $-divisors in the jacobian

Pauly, Christian; Previato, Emma

doi:10.24033/bsmf.2404

Singularities of

2 Θ

-divisors in the jacobian
[Singularités des diviseurs

2 Θ

d’une jacobienne]

Pauly, Christian ; Previato, Emma

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 129 (2001) no. 3, pp. 449-485.

Résumé
Abstract

On considère le système linéaire $| 2 Θ_{0} |$ des fonctions thêta d’ordre deux sur la jacobienne $J C$ d’une courbe non-hyperelliptique $C$ . Un résultat de J.Fay affirme qu’un diviseur $D \in | 2 Θ_{0} |$ contient l’origine $𝒪 \in J C$ avec multiplicié $4$ si et seulement si $D$ contient la surface $C - C = {𝒪 (p - q) ∣ p, q \in C} \subset J C$ . Dans cet article on généralise le résultat de Fay ainsi que quelques travaux de R.C.Gunning. On décrit la relation entre les diviseurs contenant $𝒪$ avec multiplicité $6$ , les diviseurs contenant la sous-variété $C_{2} - C_{2} = {𝒪 (p + q - r - s) ∣ p, q, r, s \in C}$ , et les diviseurs singuliers le long de $C - C$ , en utilisant la troisième puissance extérieure de l’espace canonique et l’espace des quadriques contenant la courbe canonique. De plus on montre que certains sous-systèmes linéaires sont isomorphes aux enveloppes linéaires de lieux de Brill-Noether dans l’espace de modules des fibrés vectoriels semi-stables de rang $2$ et de déterminant canonique, qui sont plongés dans $| 2 Θ_{0} |$ .

We consider the linear system $| 2 Θ_{0} |$ of second order theta functions over the Jacobian $J C$ of a non-hyperelliptic curve $C$ . A result by J.Fay says that a divisor $D \in | 2 Θ_{0} |$ contains the origin $𝒪 \in J C$ with multiplicity $4$ if and only if $D$ contains the surface $C - C = {𝒪 (p - q) ∣ p, q \in C} \subset J C$ . In this paper we generalize Fay’s result and some previous work by R.C.Gunning. More precisely, we describe the relationship between divisors containing $𝒪$ with multiplicity $6$ , divisors containing the fourfold $C_{2} - C_{2} = {𝒪 (p + q - r - s) ∣ p, q, r, s \in C}$ , and divisors singular along $C - C$ , using the third exterior product of the canonical space and the space of quadrics containing the canonical curve. Moreover we show that some of these spaces are equal to the linear span of Brill-Noether loci in the moduli space of semi-stable rank $2$ vector bundles with canonical determinant over $C$ , which can be embedded in $| 2 Θ_{0} |$ .

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DOI : 10.24033/bsmf.2404

Classification : 14H42, 14H40, 14H60
Keywords: theta functions, jacobian, canonical curve, vector bundle
Mot clés : fonctions thêta, jacobienne, courbe canonique, fibré vectoriel

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Pauly, Christian; Previato, Emma. Singularities of $2\Theta $-divisors in the jacobian. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 129 (2001) no. 3, pp. 449-485. doi : 10.24033/bsmf.2404. http://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2404/

Bibliographie
Cité par

[1] E. Arbarello, M. Cornalba, P. A. Griffiths & J. Harris - Geometry of algebraic curves, vol. 1, Springer Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo, 1985. | MR | Zbl

[2] E. Arbarello & J. Harris - « Canonical curves and quadrics of rank $4$ », Comp. Math. 43 (1981), p. 145-179. | Numdam | MR | Zbl

[3] A. Beauville - « Fibrés de rang $2$ sur une courbe, fibré déterminant et fonctions thêta », Bull. Soc. Math. France 116 (1988), p. 431-448. | Numdam | MR | Zbl

[4] -, « Fibrés de rang $2$ sur une courbe, fibré déterminant et fonctions thêta, II », Bull. Soc. Math. France 119 (1991), p. 259-291. | Numdam | MR | Zbl

[5] A. Bertram - « Moduli of rank $2$ vector bundles, theta divisor and the geometry of curves in projective space », J. Diff. Geom. 35 (1992), p. 429-469. | MR | Zbl

[6] S. Brivio & A. Verra - « The theta divisor of ${𝒮 U}_{C} (2, 2 d)$ is very ample if $C$ is not hyperelliptic », Duke Math. J. 82 (1996), p. 503-552. | MR | Zbl

[7] J. Fay - Theta Functions on Riemann Surfaces, Lecture Notes in Math., vol. 352, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1973. | MR | Zbl

[8] B. Van Geemen & G. Van Der Geer - « Kummer varieties and the moduli spaces of abelian varieties », Am. J. Math. 08 (1986), p. 615-642. | MR | Zbl

[9] B. Van Geemen & E. Izadi - « The tangent space to the moduli space of vector bundles on a curve and the singular locus of the theta divisor of the Jacobian », J. Alg. Geom. 10 (2001), p. 133-177. | MR | Zbl

[10] M. Green - « Quadrics of rank four in the ideal of the canonical curve », Invent. Math. 75 (1984), p. 85-104. | MR | Zbl

[11] R. Gunning - « Some identities for Abelian integrals, II », unpublished preprint. | MR | Zbl

[12] -, « Riemann surfaces and their associated Wirtinger varieties », Bull. Am. Math. Soc. 11 (1984), p. 287-316. | MR | Zbl

[13] -, « Some identities for Abelian integrals », Am. J. Math. 180 (1986), p. 39-74. | MR | Zbl

[14] E. Izadi - « Fonctions thêta du second ordre sur la jacobienne d'une courbe lisse », Math. Ann. 289 (1991), p. 189-202. | MR | Zbl

[15] -, « The geometric structure of $𝒜_{4}$ , the structure of the Prym map, double solids and $Γ_{00}$ -divisors », J. reine angew. Math. 462 (1995), p. 93-158. | MR | Zbl

[16] H. Lange & M. Narasimhan - « Maximal subbundles of rank two vector bundles on curves », Math. Ann. 266 (1983), p. 55-72. | MR | Zbl

[17] Y. Laszlo - « Un théorème de Riemann pour les diviseurs thêta sur les espaces de modules de fibrés stables », Duke Math. J. 64 (1991), p. 333-347. | MR | Zbl

[18] S. Mukai - « Vector bundles and Brill-Noether theory », Current topics in complex algebraic geometry (Berkeley, CA, 1992/93), Math. Sci. Res. Inst. Publ., vol. 28, p. 145-158. | MR | Zbl

[19] -, « Curves and Grassmannians », Algebraic Geometry and Related Topics (J.-H. Yang, Y. Namikawa & K. Ueno, éds.), 1992.

[20] -, « Curves and symmetric spaces, I », Amer. J. Math. 117 (1995), p. 1627-1644. | MR | Zbl

[21] D. Mumford - « Prym varieties I », Contributions to Analysis (L. Ahlfors, I. Kra, B. Maskit & L. Niremberg, éds.), Academic Press, 1974, p. 325-350. | MR | Zbl

[22] W. Oxbury, C. Pauly & E. Previato - « Subvarieties of ${𝒮 U}_{C} (2)$ and $2 θ$ -divisors in the Jacobian », Trans. Amer. Math. Soc. 350 (1998), p. 3587-3614. | MR | Zbl

[23] K. Petri - « Über die Invariante Darstellung Algebraischer Funktionen einer Veranderlichen », Math. Ann. 88 (1922), p. 242-289. | JFM | MR

[24] R. Smith & R. Varley - « Deformations of theta divisors and the rank $4$ quadrics problem », Comp. Math. 76 (1990), p. 367-398. | Numdam | MR | Zbl

[25] J. Wahl - « On cohomology of the square of an ideal sheaf », J. Alg. Geom. 6 (1997), p. 481-511. | MR | Zbl

[26] G. Welters - « The surface $C$ - $C$ on Jacobi varieties and second order theta functions », Acta. Math. 157 (1986), p. 1-22. | MR | Zbl

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