Arithmetic of 0-cycles on varieties defined over number fields

Liang, Yongqi

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 46 (2013) no. 1, pp. 35-56.

Soit $X$ une variété algébrique rationnellement connexe, définie sur un corps de nombres $k.$ On trouve, sur $X,$ un lien entre l’arithmétique des points rationnels et l’arithmétique des zéro-cycles. Plus précisément, on considère les assertions suivantes : (1) l’obstruction de Brauer-Manin est la seule à l’approximation faible pour les points $K$-rationnels sur $X_K$ pour toute extension finie $K/k;$ (2) l’obstruction de Brauer-Manin est la seule à l’approximation faible (en un certain sens à préciser) pour les zéro-cycles de degré $1$ sur $X_K$ pour toute extension finie $K/k;$ (3) la suite

$$\underset{n}{\underleftarrow{lim}}C{H}_0\left(X_K\right)/n\to \prod _{w\in {\Omega }_K}\underset{n}{\underleftarrow{lim}}C{H}_0^{\text{'}}\left(X_{K_w}\right)/n\to \mathrm{Hom}(\mathrm{Br}\left(X_K\right),\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$$

est exacte pour toute extension finie $K/k.$ On démontre que (1) implique (2), et que (2) et (3) sont équivalentes. On trouve également une implication similaire pour le principe de Hasse. Comme application, on montre l’exactitude de la suite ci-dessus pour les compactifications lisses de certains espaces homogènes de groupes algébriques linéaires.

Let $X$ be a rationally connected algebraic variety, defined over a number field $k.$ We find a relation between the arithmetic of rational points on $X$ and the arithmetic of zero-cycles. More precisely, we consider the following statements: (1) the Brauer-Manin obstruction is the only obstruction to weak approximation for $K$-rational points on $X_K$ for all finite extensions $K/k;$ (2) the Brauer-Manin obstruction is the only obstruction to weak approximation in some sense that we define for zero-cycles of degree $1$ on $X_K$ for all finite extensions $K/k;$ (3) the sequence

$$\underset{n}{\underleftarrow{lim}}C{H}_0\left(X_K\right)/n\to \prod _{w\in {\Omega }_K}\underset{n}{\underleftarrow{lim}}C{H}_0^{\text{'}}\left(X_{K_w}\right)/n\to \mathrm{Hom}(\mathrm{Br}\left(X_K\right),\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$$

is exact for all finite extensions $K/k.$ We prove that (1) implies (2), and that (2) and (3) are equivalent. We also prove a similar implication for the Hasse principle. As an application, we prove the exactness of the sequence above for smooth compactifications of certain homogeneous spaces of linear algebraic groups.

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