Nouveaux résultats sur les petites perturbations d’équations d’évolutions aléatoires
Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 19 (2012) no. 1, pp. 271-296.

Dans cet article, nous étudions les résultats de grandes déviations associés au couple (X ε ,ν ε ), solution de l’E.D.S. interprétée au sens d’Itô :

dX t ε =εσ ν ε (t) (X t ε )dW t +b ν ε (t) (X t ε )dt;X 0 ε =x d

avec des conditions assez générales sur les coefficients et dans les deux cas suivants :

Premier cas : ν ε est indépendant du mouvement brownien W et satisfait à un principe de grandes déviations ;

Deuxième cas : ν ε est un processus markovien avec un nombre fini d’états {1,...,n} vérifiant

{ν ε (t+Δ)=j/ν ε (t)=i,X ε (t)=x}=d ij (x)Δ+o(Δ)

uniformément dans d pourvu que Δ0,1i,jn,ij.

Ces résultats sont des extensions de ceux de Bezuidenhout [2] et d’Eizenberg & Freidlin [7] au cas où σ est quelconque.

In this paper, we study a large deviations principle associated to the couple (X ε ,ν ε ), solution of Itô integral:

dX t ε =εσ ν ε (t) (X t ε )dW t +b ν ε (t) (X t ε )dt;X 0 ε =x d

under general conditions on the coefficients, in the two following cases:

First case: ν ε is independant of the brownian motion W and obeys a large deviations principle;

Second case: ν ε is a markovian process with finite states {1,...,n} such that {ν ε (t+Δ)=j/ν ε (t)=i,X ε (t)=x}=d ij (x)Δ+o(Δ) uniformely in d , provided Δ0,1i,jn,ij.

Our results extend those of Bezuidenhout [2] and Eizenberg & Freidlin [7], to general σ.

DOI : 10.5802/ambp.314
Classification : 60F17, 60F10
Mots-clés : Principe de grandes déviations, équations d’évolutions aléatoires, systèmes d’E.D.P., goulots de sortie
Rajaonarison, Lyliane Irène 1 ; Rabeherimanana, Toussaint Joseph 2

1 E.S.P.A, Département Electronique Vontovorona Antananarivo 101 MADAGASCAR
2 Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique B.P. 906, Ankatso Antananarivo101 MADAGASCAR
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Rajaonarison, Lyliane Irène; Rabeherimanana, Toussaint Joseph. Nouveaux résultats sur les petites perturbations d’équations d’évolutions aléatoires. Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 19 (2012) no. 1, pp. 271-296. doi : 10.5802/ambp.314. http://www.numdam.org/articles/10.5802/ambp.314/

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