Espaces de Sobolev gaussiens

Feyel, Denis; La Pradelle, A. de

Annales de l'Institut Fourier, Tome 39 (1989) no. 4, pp. 875-908.

Soit $\mu$ une mesure gaussienne sur un espace localement convexe $E$. On donne un nouveau point de vue sur le premier espace de Sobolev $W(E,\mu )$ construit sur $E$ et $\mu$. La différentielle $f^{\prime }$ de $f\in W(E,\mu )$ est une fonction de deux variables $(x,y)\in E\times E$, “quasi-linéaire” dans la seconde variable.

La différentielle d’une intégrale stochastique est une intégrale stochastique sur $E\times E$ muni de $\mu \times \mu$.

On montre que la “procapacité gaussienne” naturelle est une vraie capacité si $E$ est un espace de Banach ou de Fréchet ou le dual faible d’un espace de Fréchet séparable et nucléaire.

On montre aussi que toute $f\in W(E,\mu )$ vaut $\mu$-presque partout une fonction quasi-continue, et que tous ses représentants quasi-continus sont absolument continus sur presque toute droite parallèle à une direction de Cameron-Martin.

Let $\mu$ be a gaussian measure on a locally convex linear space $E$. We give a new point of view on the first Sobolev space $W(E,\mu )$ built on $E$ with respect to $\mu$. The differential $f^{\prime }$ of $f\in W(E,\mu )$ is a function of two variables $(x,y)\in E\times E$, which is “quasi-linear” in the second variable.

The differential of a stochastic integral is a stochastic integral on $E\times E$ with respect to $\mu \otimes \mu .$

The natural “gaussian procapacity” is a true capacity if $E$ is a Banach or a Frechet space or the weak dual of a separable Frechet nuclear space.

Any $f\in W(E,\mu )$ is equal $\mu$-almost everywhere to a quasi-continuous function $g$, moreover any such $g$ has for any Cameron-Martin direction the absolute continuity property in almost every line parallel to this direction.

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