Processus de Markov et désintégrations régulières

Schwartz, Laurent

Annales de l'Institut Fourier, Tome 27 (1977) no. 3, pp. 211-277.

Un théorème classique exprime qu’à partir d’un semi-groupe $(P^t{)}_{t\ge 0}$ d’opérateurs sur l’espace des fonctions continues tendant vers 0 à l’infini, $P^{s+t}=P^t$, $P^s\ge 0$, $P^{t}l=1$, $t\to P^{t}f$ continue, $P^0=I$, on peut construire un processus markovien “standard”, à trajectoires réglées et continues à droite, quasi-continu à gauche ; l’espace des états $E$ est supposé localement compact à base dénombrable d’ouverts. Nous supposons ici que l’espace des états est seulement universellement mesurable dans un souslinien complètement régulier ; le processus n’est plus homogène dans le temps, on a donc une famille d’opérateurs $P^{s,t}$, $s\le t$, avec $P^{r,s}{P}^{s,t}=P^{r,t}$ pour $r\le s\le t$. Les hypothèses doivent donc être un peu modifiées, il n’existe plus ici de fonctions continues tendant vers 0 à l’infini; les probabilités de transition $P(x,t;x)$ jouent ici le rôle fondamental. En outre, les temps d’arrêt n’interviennent pratiquement pas ; ce sont les désintégrations régulières qui les remplacent. À titre d’application, on peut considérer les marches aléatoires à temps continu dans un Banach, dont les mouvements browniens sont des cas particuliers.

Starting with a semi-group of operators $(P^t{)}_{t\ge 0}$ on the space of continuous functions vanishing at infinity, $P^{s+t}=P^t$, $P^s\ge 0$, $P^{t}l=1$, $t\to P^{t}f$ continuous, $P^0=I$, one can classically define a “standard” Markov process, with ruled, right continuous paths, and left quasi-continuous; the fundamental space $E$ has to be locally compact with a countable basis. We assume here that $E$ is only a universally measurable subspace of a completely regular Suslin space ; the process is no longer time homogeneous, therefore we have a family $\left(P^{s,t}\right)$ $s\le t$ of operators with $P^{r+s}{P}^{s,t}=P^{r,t}$ for $r\le s\le t$. The hypotheses have to be slightly modified because continuous functions vanishing at infinity don’t longer exist; the transition probabilities $P(s,t;x)$ play a fundamental role. Moreover, stopping time practically don’t occur the regular desintegrations replace them. As applications: stochastic walkings with continuous times in a Banach space; among them the brownian motions are particular cases.

R.M. Blumenthal et R.K. Getoor [1], Markov Processes and Potential theory, Academic Press, New-York and London, 1968. | MR | Zbl

Claude Dellacherie et Paul-André Meyer [1], Probabilités et potentiel, Paris, Hermann, 1975.

Paul-André Meyer [1]. Probabilités et Potentiel, Paris, Hermann, 1966. | Zbl

Laurent Schwartz [1]. Radon Measures on Arbitrary Topological Spaces and Cylindrical Measures, Oxford University Press, 1973. | Zbl

Laurent Schwartz [2]. Surmartingales régulières à valeurs mesures et désintégrations régulières d'une mesure, Journal d'Analyse Mathématique, Jérusalem, XXVI (1973). | Zbl