Tuboïdes dans ${𝐂}^n$ et généralisation d’un théorème de Cartan et Grauert

Bros, Jacques; Iagolnitzer, D.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 26 (1976) no. 3, pp. 49-72.

On introduit une classe de domaines dans ${\mathbf{C}}_{\left(z\right)}^n={\mathbf{R}}_{\left(x\right)}^n\times {\mathbf{R}}_{\left(y\right)}^n$ appelés tuboïdes. Un tuboïde $D={\cup }_{x\in \Omega }(x,D_x)$ de profil $\Lambda ={\cup }_{x\in \Omega }(x,{\Lambda }_x)$ est un domaine de ${\mathbf{C}}_{\left(z\right)}^n$ dont chaque fibre $D_x$ (dans ${\mathbf{R}}_{\left(y\right)}^n)$ admet ${\Lambda }_x$ comme cône tangent à l’origine.

On montre dans la première partie que l’enveloppe d’holomorphie d’un tuboïde $\widehat{D}$ de profil $\widehat{\Lambda }={\cup }_{x\in \Omega }(x,{\widehat{\Lambda }}_x)$ où ${\widehat{\Lambda }}_x$ est pour tout $x$ l’enveloppe convexe de ${\Lambda }_x$. dans la deuxième partie, l’on montre alors que tout tuboïde $D$ dont le profil $\Lambda$ a toutes ses fibres ${\Lambda }_x$ convexes contient un tuboïde $D^{\prime }$ de même profil qui est de plus un domaine d’holomorphie. Ce résultat est une génération du théorème de Grauert [1] selon lequel tout domaine $\Omega$ de ${\mathbf{R}}_{\left(x\right)}^n$ admet une base de voisinages complexes qui sont des domaines d’holomorphie.

A class of domains in ${\mathbf{C}}_{\left(z\right)}^n={\mathbf{R}}_{\left(x\right)}^n\times {\mathbf{R}}_{\left(y\right)}^n$, called “tuboids" is introduced. A tuboid $D={\cup }_{x\in \Omega }(x,D_x)$ with profile $\Lambda ={\cup }_{x\in \Omega }(x,{\Lambda }_x)$ is a domain in ${\mathbf{C}}_{\left(z\right)}^n$ such that every fiber $D_x$ (in ${\mathbf{R}}_{\left(y\right)}^n)$ admits the corresponding fiber ${\Lambda }_x$ of $\Lambda$ as its tangent cone at the origin.

In the first part, it is proved that the holomorphy envelope of a tuboid $D$ with profile $\Lambda$ contains a tuboid $\widehat{D}$ whose profile $\widehat{\Lambda }$ is the union of the convex hulls of all the fibers of $\Lambda$. In the second part, it is shown that for every tuboid $D$ there exists a tuboid $D^{\prime }\subset D$ which has the same profile as $D$ and is a holomorphy domain. A special case of this result is a theorem by Grauert according to which every real domain $\Omega$ admits a basis of complex neighbourhoods which are holomorphy domains.

[1] H. Grauert, Ann. Math., série 2, 68, (1958), 460-472 ; cette propriété a d'abord été démontrée pour Ω = Rn par H. Cartan, Bull. Soc. Math. France, 85 (1957) 77-100.

[2] J. Bros et D. Iagolnitzer, Ann. Inst. Henri Poincaré, Section A, Vol. XVIII no 2 (1973) 147-184. et Proc. Marseille Meeting on Renormalization theory (june 1971). | Numdam | Zbl

[3] H. Komatsu, A local version of Bochner's tube theorem, Journal Fac. of Science, Tokyo, I-A 19 (1972), 201-214. | MR | Zbl

[4] E. Andronikof, “Valeurs au bord de fonctions holomorphes se recollant “loin du réel”. Thèse (1974), Université Paris-Nord-St-Denis (Départ. de Mathématiques).

[5] cf. par exemple : P. Lelong, Cours sur la théorie des fonctions de plusieurs variables complexes (Saclay, 1960).