Principe du minimum et préfaisceaux maximaux

Feyel, Denis; La Pradelle, Arnaud de

Annales de l'Institut Fourier, Tome 24 (1974) no. 1, pp. 1-121.

Le faisceau des fonctions hyperharmoniques dans les ouverts de ${\mathbf{R}}^n$ vérifie le principe du minimum et est maximal parmi les faisceaux de cônes convexes de fonctions s.c.i. $>-\infty$ vérifiant ce principe du minimum.

On se donne plus généralement un espace localement $\Omega$ dans lequel on définit différents principes du minimum, et on étudie la donnée d’un faisceau de cônes convexes de fonctions s.c.i. $>-\infty$ qui soit maximal par rapport à l’un de ces principes.

On montre ainsi comment on peut caractériser certains de ces faisceaux maximaux par des propriétés importantes de la théorie du potentiel.

En précisant davantage le principe du minimum utilisé, on obtient des faisceaux plus spéciaux comme par exemple le faisceau des fonctions plurihyperharmoniques sur les ouverts de ${\mathbf{C}}^n$.

The sheaf of hyperharmonic functions, defined in the open sets of ${\mathbf{R}}^n$, satisfies the minimum principle. Moreover it has the property of being maximal among the sheaves of convex cones of lower semicontinuous functions $>-\infty$ satisfying this minimum principle.

More generally, a locally compact space $\Omega$ is given, in which different minimum principles are defined. A sheaf of convex cones of lower semi-continuous functions $>-\infty$, which is maximal with respect to one of these minimum principles, is studied.

It is also shown how some of these maximal sheaves can be characterized by important properties of potential theory.

More special sheaves, as for instance the sheaf of plurihyperharmonic functions on the open sets of ${\mathbf{C}}^n$, are obtained by use of a more accurate minimum principle.

[1] L. Ahlfors, Complex analysis, N.Y. Mc Graw-Hill Book company (1953).

[1a] V. Anandam, Thèse Université Paris VI (1971).

[2] V. Avanissian, Fonctions plurisousharmoniques et fonctions doublement sousharmoniques, Annales E.N.S. 3e série, 78 (1960), 101. | Numdam | Zbl

[3] H. Bauer, Silovscher Rand und Dirichletsches Problem, Annales Inst. Four., 11 (1961), 89. | Numdam | MR | Zbl

[4] H. Bauer, Harmonische Raüme und ihre Potential theorie, Lecture Notes, 22 (1966). | Zbl

[5] N. Boboc, C. Constantinescu, A. Cornea, Axiomatic theory of harmonic functions, Annales Inst. Four., 15 (1965), fasc. 1, p. 283 et fasc. 2, p. 37). | Numdam | MR | Zbl

[6] N. Boboc, A. Cornea, Convex cones of lower semicontinuous functions on compact spaces, Revue roumaine de math. pures et appliquées, (1967), tome XII, no 4, p. 471-525. | MR | Zbl

[7] N. Boboc, A. Cornea, Cônes convexes ordonnés, H-cônes et adjoints de H-cônes. C.R. Acad. Sci. Paris, t. 270, p. 596-599. | MR | Zbl

[8] M. Brelot, Eléments de la théorie classique du potentiel, C.D.U. 3ème édition, (1965).

[9] M. Brelot, Axiomatique des fonctions harmoniques. Cours d'été 65, Montréal, Les presses de l'Université. | Zbl

[10] C. Constantinescu, A. Cornea, Potential theory on harmonic spaces, Springer. | Zbl

[11] D. Feyel, A. De La Pradelle, Principes du minimum et maximalité dans les préfaisceaux. Esquisse d'une théorie locale, C.R. Ac. Sc. 272, p. 19. | MR | Zbl

[12] D. Feyel, A. De La Pradelle, Quelques propriétés de la réduite dans les préfaisceaux maximaux, C.R. Ac. Sc. 274, p. 1285. | MR | Zbl

[13] K. Gowrisankaran, Multiply harmonic functions, Nagoya Math. J. vol. 28, octobre (1966), 27. | MR | Zbl

[13a] A. Grothendieck, Espaces vectoriels topologiques, Pub. Soc. Math. S. Paule, (1966).

[14] L.L. Helms, Maximal wedges of subharmonic functions, Am. J. of Math., mai (1963), 710-712. | MR | Zbl

[15] R.M. Herve, Recherches axiomatiques sur la théorie des fonctions surharmoniques et du potentiel, Ann. Inst. Four., 12 (1962), 415 (571). | Numdam | MR | Zbl

[16] J. Kohn, Harmonische Raüme mit einer Basis semiregülarer Meugen, Seminar über potential theorie, p. 1-12, Springer (1968).

[17] A. De La Pradelle, A propos du mémoire de G.F. Vincent-Smith sur l'approximation des fonctions harmoniques, Ann. Inst. Four. t. 19 (1969), fasc. 2, 355-370. | Numdam | MR | Zbl

[18] P. Lelong, Les fonctions plurisousharmoniques, Ann. E.N.S. 62, (1945), p. 301. | Numdam | MR | Zbl

[18a] P.A. Meyer, Probabilités et Potentiel, Act. Scient. et indust. Hermann, Paris (1966). | MR | Zbl

[19] G. Mokobodzki, D. Sibony, Sur une propriété caractéristique des cônes de potentiel, C.R. Ac. Sc. série A, 266, (1968), 215-218. | Zbl

[20] G. Mokobodzki, D. Sibony, Principe du minimum et maximalité en théorie du potentiel, Ann. Inst. Four. 17, no 1 (1967), 401-442. | Numdam | MR | Zbl

[21a] G. Mokobodzki, D. Bony, Séminaire Brelot-Choquet-Deny 11ème année 1966/1967, no 8.

[21] G.F. Vincent-Smith, Uniform approximation of harmonic functions, Ann. Inst. Four. tome 19, fasc. 2, (1969), 339-353. | Numdam | MR | Zbl