Silovscher Rand und Dirichletsches Problem

Bauer, Heinz

Annales de l'Institut Fourier, Tome 11 (1961), pp. 89-136.

On montre d’abord l’existence de la frontière de $\check{\mathrm{S}}$ilov ${\partial }_{\mathbf{E}}X$ d’un espace compact $X$ par rapport à un ensemble $\mathbf{E}$ assez général de fonctions numériques semi-continues inférieurement dans $X$ ; on introduit aussi une frontière de Choquet partout dense dans ${\partial }_{\mathbf{E}}X$. Ensuite on étudie un problème de Dirichlet abstrait : on se donne un espace compact $X$ et un espace vectoriel $\mathbf{H}$ de fonctions continues réelles dans $X$ ; on construit une certaine complétion $\widehat{\mathbf{H}}$ de $\mathbf{H}$. Le problème de Dirichlet abstrait est alors de trouver des conditions nécessaires et suffisantes pour que toute fonction continue réelle dans ${\partial }_{\mathbf{H}}X$ puisse être prolongée en une fonction de $\widehat{\mathbf{H}}$.

Cette théorie permet plusieurs applications : Application au problème de Dirichlet classique ; on montre en outre que l’ensemble des points réguliers d’un ouvert relativement compact dans ${\mathbf{R}}^n$ est une frontière de Choquet. Caractérisation, par des propriétés intrinsèques, des simplexes de G. Choquet dont l’ensemble des points extrémaux est fermé. Application au problème de Dirichlet pour les fonctions harmoniques discrètes. Étude de la frontière de $\check{\mathrm{S}}$ilov d’un espace compact par rapport à une algèbre de fonctions continues à valeurs complexes.

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