Problèmes relatifs à l'itération de fonctions suggérés par les processus en cascade

Dubuc, Serge

Annales de l'Institut Fourier, Tome 21 (1971) no. 1, pp. 171-251.

Dans la première partie du travail, l’auteur étudie les fonctions harmoniques associées à un processus en cascade sans disparition d’individus. Il achève la caractérisation des fonctions harmoniques positives extrémales, entreprise dans deux articles précédents et il détermine le comportement asymptotique de celles-ci. Un certain nombre d’exemples de fonctions harmoniques sont décrits. La deuxième partie du travail porte sur les fonctions harmoniques positives qui sont des fonctionnelles linéaires sur l’espace $C^k[0,1]$, les génératrices extrémales de ce cône sont précisées. La troisième partie introduit l’équation fonctionnelle de Schröder ou son équivalent, l’équation d’Abel. L’auteur fait une analyse fine de cette équation. Dans la dernière partie, sous la seule hypothèse que le processus a une moyenne finie plus grande que un, il est vérifié que l’on peut trouver une suite $M_n$ telle que la croissance de la population normalisée par $M_n:\frac{Z_n}{M_n}$ tend en distribution vers une variable aléatoire absolument continue. Le tout se termine par une étude sommaire des processus en cascade qui peuvent être plongés dans le temps continu.

The author begins by studying harmonic (regular) functions of a branching process. He characterizes extreme positive harmonic functions and describes their asymptotic behaviour. Various examples of harmonic functions are given. The second part of the study is about harmonic functions which are linear functional on $C^k[0,1]$, extreme rays of this cone are found. In the third part, a fine analysis of Schröder’s (or Abel’s) functional equation is done. The last section gives the proof that for a given supercritical branching process, there is a sequence of numbers $M_n$ such that the growth of the normalized population $\frac{Z_n}{M_n}$ converges in distribution to an absolutely continuous time branching processes.

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