Familles fondamentales. Noyaux associés

Deny, Jacques

Annales de l'Institut Fourier, Tome 3 (1951), pp. 73-101.

Par “famille fondamentale” on entend ici un ensemble $\left(\Sigma \right)$ de mesures de Radon $\sigma \ge 0$, définies dans un groupe abélien localement compact $G$, auquel on peut associer une mesure $\chi \ge 0$, appelée base de $\left(\Sigma \right)$, de façon que soient vérifiés :

1) $\chi *\sigma$ a un sens pour toute $\sigma \in \left(\Sigma \right)$ ; $\chi -\chi *\sigma$ est $\ge 0$, non nulle, à support compact ;

2) à tout voisinage $V$ de l’origine de $G$, on peut associer une $\sigma \in \left(\Sigma \right)$ telle que le support de $\chi -\chi *\sigma$ soit contenu dans $V$.

Par exemple, les répartitions homogènes de la masse $+1$ sur les sphères de centre $O$ constituent, dans $R^m$, une famille fondamentale, une base associée étant le noyau newtonien $|x{|}^{2-m}$ $(m>2)$. On montre que, parmi les bases associées à une telle famille $\left(\Sigma \right)$, il en existe une (et une seule à un facteur $>0$ près), telle que soit vérifié en outre :

3) pour toute $\sigma \in \left(\Sigma \right)$, $\chi *{\sigma }^p\to 0$ vaguement (${\sigma }^p$ désignant le produit de composition de $p$ mesures identiques à $\sigma$).

Une telle base est appelée noyau associé à $\left(\Sigma \right)$ ; l’article a pour but de construire une théorie du potentiel par rapport à un tel noyau. À signaler notamment l’existence d’un théorème de décomposition du type de F. Riesz et d’un théorème du balayage. On montre ensuite que l’ensemble des noyaux pour lesquels “le balayage est possible” (avec une définition convenable) est fermé pour la topologie vague, d’où la construction effective d’une classe très vaste de noyaux pour lesquels le balayage est possible. Cette classe contient tous les exemples connus ; la méthode utilisée (emploi des familles de Perron) permet d’atteindre des noyaux dissymétriques.

[1] N. Bourbaki. Topologie générale, chap. 1 (Act. Sc. et Ind.n° 858).

[2] M. Brelot. Minorantes sousharmoniques, extrémales et capacités (J. de Math., 24, 1945, pp. 1-32). | Numdam | MR | Zbl

[3] M. Brelot. Quelques propriétés et applications du balayage (C. R. 226, 1948, pp. 1499-1500). | Zbl

[4] H. Cartan. Sur les fondements de la théorie du potentiel (Bull. Soc. Math. de France, 69, 1941, pp. 71-96). | JFM | Numdam | MR | Zbl

[5] H. Cartan et J. Deny. Le principe du maximum en théorie du potentiel et la notion de fonction surharmonique (Acta de Szeged, 12, 1950, p. 81-100). | MR | Zbl

[6] G. Choquet. Les capacités, fonctions alternées d'ensembles (C. R. 233, 1951, pp. 904-906). | MR | Zbl

[7] J. Deny. Le balayage (volume jubilaire de M. Riesz). | Zbl

[8] M. Riesz. Intégrales de Riemann-Liouville et Potentiels (Acta de Szeged, 9, 1938, pp. 1-42). | JFM | Zbl