Fonctions plurisousharmoniques et analytiques dans les espaces vectoriels topologiques complexes

Noverraz, Philippe

Annales de l'Institut Fourier, Tome 19 (1969) no. 2, pp. 419-493.

Dans ce travail, nous étudions la notion de fonctions plurisousharmoniques ou analytiques dans le cadre des espaces vectoriels topologiques séparés de dimension infinie sur le corps des complexes. Nous étudions des fonctions que nous appelons sous-médianes qui sont caractérisées par la propriété de la moyenne sur les droites complexes (la régularisée supérieure est alors plurisousharmonique et on prouve le lemme de Hartogs). Puis, nous considérons les différentes définitions et propriétés des fonctions analytiques en mettant l’accent sur la notion de fonction $G$-analytique (i.e. analytique sur les droites) et démontrons le théorème de Hartogs dans le cas des espaces de Fréchet. Nous introduisons la notion d’ensemble de classe $P$ et étudions les propriétés de prolongement sur un tel ensemble des fonctions plurisousharmoniques ou analytiques. Pour terminer, nous démontrons un théorème de croissance lié aux coefficients de Fourier des fonctions plurisousharmoniques de plusieurs variables complexes.

In this paper we study the concept of plurisubharmonic or analytic function on complex topological vector spaces of infinite dimension. We study a class of functions which we call sub-median characterized by the mean property on complex lines (the upper regularization is then plurisubharmonic and we prove the Hargos Lemma). Then we consider the various definitions and properties of analytic functions, stressing the concept of $G$-analytic function (i.e. analytic on lines) and demonstrate the Hartogs Theorem in the case of Frechet spaces. We introduce the concept of set of class $P$ and study the properties of extensions on such a set of plurisubharmonic of analytic functions. Finally we prove a growth theorems related to Fourier coefficients of plurisubharmonic functions of several complex variables.

[1] M. G. Arsove, Functions representable as differences of subharmonic functions, Trans. Amer. Math. Soc., t. 75, (1953), 237-265. | MR | Zbl

[2] V. Avanissian, Fonctions plurisousharmoniques et fonctions doublement sousharmoniques, Ann. E.N.S., t. 78, (1961), 101-161. | Numdam | MR | Zbl

[3] N. Bourbaki, Intégration, Actualités Scientifiques et Industrielles, 1175, Hermann, Paris (1952). | Zbl

[4] N. Bourbaki, Espaces vectoriels topologiques, Activités Scientifiques et industrielles, 1189, Hermann, Paris, (1966).

[5] N. Bourbaki, Variétés différentielles et analytiques (Résultats), Activités Scientifiques et Industrielles, 1333, Hermann, Paris (1967). | MR | Zbl

[6] H. J. Bremermann, Holomorphic functionnals and complex convexity in Banach spaces, Pac. J. Math. 7, 811-831 (1957). | MR | Zbl

[7] G. CŒUré, Le théorème de convergence dans les espaces localement convexes complexes, C.R. Acad. Sc. t. 264, 287-290, (1967). | MR | Zbl

[8] G. CŒUré, Thèse (à paraître aux Annales de l'Institut Fourier).

[9] J. Deny et P. Lelong, Étude des fonctions sousharmoniques dans un cylindre ou dans un cône. Bull. Soc. Math. de France, t. 75, (1947), 89-112. | Numdam | MR | Zbl

[10] A. Douady, Le problème des modules pour les sous-espaces analytiques compacts d'un espace analytique donné, Annales Institut Fourier, t. 16, 1-68 (1966). | Numdam | MR | Zbl

[11] A. Grothendieck, Sur certains espaces de fonctions holomorphes, J. Für reine und angew. Math., t. 192, (1953), 35-64. | MR | Zbl

[12] D. P. Gupta, Malgrange theorem for nuclearly entire functions of bounded type on Banach Space. Notas de Math. n° 37 (1968) Rio. Brésil. | MR | Zbl

[13] E. Hille and E. G. Phillips, Functional analysis and semi-groups, Colloquium, A.M.S. édition (1957). | Zbl

[14] L. Hörmander, An introduction to complexe analysis in several variables, Van Nostrand (1966). | Zbl

[15] B. Jessen, The theory of Integration in a space of infinity variables, Acta Math. 63 (1934) 249-323. | JFM | Zbl

[16] C. O. Kieselman, On entire functions of exponential type and indicators of analytic functionals, Acta Math., 117, (1967), 1-35. | MR | Zbl

[17] P. Lelong, Les fonctions plurisousharmoniques, Ann. E.N.S., t. 62 (1945), 301-338. | Numdam | MR | Zbl

[18] P. Lelong, Ensembles singuliers impropres des fonctions plurisousharmoniques, Journal de Math., t. 36 (1957), 263-303. | MR | Zbl

[19] P. Lelong, Fonctions plurisousharmoniques et fonctions analytiques de variables réelles, Ann. Inst. Fourier, t. XI (1961), 515-562. | Numdam | MR | Zbl

[20] P. Lelong, Fonctions entières de type exponentiel dans Cn, Ann. Inst. Fourier, t. XVI, (1966), 269-318. | Numdam | MR | Zbl

[21] P. Lelong, Fonctions entières et fonctionnelles analytiques. Séminaire d'été Montréal (1967).

[22] a) P. Lelong, Fonctions plurisousharmoniques dans les espaces vectoriels topologiques, Sem. Lelong, 8e année (1967-1968). | Zbl

b) P. Lelong, Fonctions plurisousharmoniques et ensembles polaires dans les espaces vectoriels topologiques, C.R. Acad. Sc., t. 267, (1968), 916-918. | MR | Zbl

[23] B. Malgrange, Existence et approximation des solutions des équations aux dérivées partielles et des équations de convolution, Ann. Inst. Fourier, t. 6, (1955-1956), 271-355. | Numdam | MR | Zbl

[24] L. Nachbin, Topology on spaces of holomorphic mappings, Springer. (Ergebnisse n° 47). | MR | Zbl

[25] Ph. Noverraz, Extension d'une méthode de séries de Fourier aux fonctions sousharmoniques et plurisousharmoniques. Sem. Lelong (1965-1966) Exposé n° 3 (Mars 1965) et C.R. Acad. Sc. Paris, t. 264, 675-678 (1967). | Numdam | Zbl

[26] Ph. Noverraz, Un théorème de Hartogs et théorèmes de prolongement dans les espaces vectoriels topologiques complexes, C.R. Acad. Sc., t. 266, 806-808 (1968). | Zbl

[27] Ph. Noverraz, Fonctions analytiques et théorèmes de prolongement, Sem. Lelong (1968-1969).

[28] J. P. Ramis, Les théorèmes de Weierstrass pour les anneaux polynômes de séries formelles et de séries convergentes sur un espace vectoriel (2 exposés) Sem. Lelong (1966-1967). | Numdam | Zbl

[29] J. P. Ramis, Thèse (à paraître chez Springer).

[30] L. A. Rubel, A. Fourier series method for entire functions, Duke Math. J., t. 30, (1963), 437-442. | MR | Zbl

[31] L. A. Rubel et B. A. Taylor, A Fourier series method for meromorphic an entire functions. Bull. Soc. Math., t. 96 (1968), 53-96. | Numdam | Zbl

[32] B. A. Taylor, The fields of Quotients of some rings of entire functions. Proc. Of Symposia in Pure Math. Vol 11, Entire functions and related parts of analysis, AMS (1968). | MR | Zbl

[33] M. A. Zorn, Characterisation of analytic functions in Banach space, Annals of Math., 2 (46) (1945), 585-593. | Zbl

[34] M. A. Zorn, Gateaux differentiability and essential boundedness, Duke Math. Jour., t. 12 (1945), 579-583. | MR | Zbl

[35] A. Zygmund, Trigonometric series, Cambridge (1959). | Zbl