Fonctions plurisousharmoniques et fonctions analytiques de variables réelles

Lelong, Pierre

Annales de l'Institut Fourier, Tome 11 (1961), pp. 515-562.

Dans la première partie, on étudie les familles $F$ localement bornées supérieurement de fonctions plurisousharmoniques dans un domaine $\Delta$ de l’espace ${\mathbf{C}}^p$ des variables complexes $X_1,...,X_p,X_k=x_k+i{y}_k$ ; on suppose que le sous-espace réel ${\mathbf{R}}^p$ coupe $\Delta$ selon un domaine $D$ de la topologie ${\mathbf{R}}^p$. On sait que l’enveloppe supérieure $w$ de $F$ a pour plus petite majorante (régularisée) semi-continue supérieurement une fonction plurisousharmonique $w^{*}$. L’étude porte sur l’ensemble $E$ où l’on a $w<w^{*}$ : $E$ est réunion de $p$ ensemble de ${\mathbf{R}}^{2p}$-capacité nulle, dont chacun est coupé par une des directions d’axe complexe selon des ensembles de ${\mathbf{R}}^2$-capacité nulle. Sur ${\mathbf{R}}^p$, $E$ est de mesure nulle et $w$ est localement sommable.

Ces propriétés permettent l’étude de classes particulières $(\mathbf{L},D)$ de fonctions analytiques $f$ de variables réelles dont les domaines d’holomorphie ont une intersection $\Omega \left(D\right)$ non vide et pour lesquelles il existe une majoration de $\left|f\right|$ sur un compact $\Gamma$ de $\Omega \left(D\right)$ en fonction linéaire de sup.$\left|f\right|$ sur un compact $G$ de $D$, la correspondance $\Gamma \to G$ étant continue (eu égard aux topologies ${\mathbf{C}}^p$ et ${\mathbf{R}}^p$ respectivement) au voisinage de l’identité $G\to G$.

[1] V. Avanissian. Fonctions plurisousharmoniques et fonctions doublement sousharmoniques. Thèse, Annales E.N.S., 1961. | Numdam | MR | Zbl

[2] M. Brelot a) Sur le potentiel et les suites de fonctions sousharmoniques, C. R. Ac. Sci., t. 207, 1938, p. 836. | JFM | Zbl

[2] M. Brelot b) Nouvelle démonstration du théorème fondamental sur la convergence des potentiels, Annales de l'Inst. Fourier, t. 5, 1957, pp. 361-368. | Numdam | Zbl

[2] M. Brelot c) Points irréguliers et transformations continues en théorie du potentiel, Journal de Math., t. 19, 1940, pp. 319-337. | JFM | Numdam | MR | Zbl

[3] M. Brelot et G. Choquet. Le théorème de convergence en théorie du potentiel, Journal Madras Univ., t. 27, n° 1, 1957, pp. 277-286. | MR | Zbl

[4] H. Cartan. Théorie du potentiel newtonien, énergie, capacité, suite de potentiels, Bull. Soc. Math., t. 73, 1945, pp. 74-106. | Numdam | MR | Zbl

[5] J. Deny et P. Lelong. Étude des fonctions sousharmoniques dans un cylindre ou dans un cône, Bull. Soc. Math. de France, t. 75, 1947, pp. 89-112. | Numdam | MR | Zbl

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[6] P. Lelong b) Définition des fonctions plurisousharmoniques C.R. Ac. Sci. Paris, t. 215, 1942, p. 398. | JFM | MR | Zbl

[6] P. Lelong c) Les fonctions plurisousharmoniques, Ann. École Norm. Sup., 1945, t. 62, pp. 301-338. | Numdam | MR | Zbl

[6] P. Lelong d) Ensembles singuliers impropres des fonctions plurisous-harmoniques, Journal de Math., t. 36, 1957, pp. 263-303. | MR | Zbl

[6] P. Lelong e) Sur une classe de singularités impropres, Archiv. der Math., t. 9, 1958, pp. 161-166. | MR | Zbl

[6] P. Lelong f) Sur l'approximation des fonctions de plusieurs variables au moyen des fonctions polyharmoniques, C. R. Ac. Sci., t. 227, 1948, p. 26. | MR | Zbl

[6] P. Lelong g) Sur les singularités complexes d'une fonction harmonique C. R. Ac. Sci., t. 232, 1951, p. 1895. | MR | Zbl

[6] P. Lelong h) Prolongement analytique et singularités complexes des fonctions harmoniques, Bull. Soc. Math. de Belgique, 1954, pp. 20-23. | Zbl