Théorie des distributions à valeurs vectorielles. I

Schwartz, Laurent

doi:10.5802/aif.68

Schwartz, Laurent

Annales de l'Institut Fourier, Tome 7 (1957), pp. 1-141.

Résumé

Ce travail a pour but l’extension aux distributions à valeurs vectorielles des principales propriétés des distributions scalaires (Théorie des distributions, Paris, Hermann, 1950–51, et nouvelle édition du tome I, 1957).

Soit $E$ un espace vectoriel topologique localement convexe séparé quasi-complet. L’espace $𝒟^{'} (E)$ des distributions sur $R^{n}$ à valeurs dans $E$ est par définition l’espace $ℒ (𝒟; E)$ des applications linéaires continues de $𝒟$ dans $E$ , $𝒟$ étant l’espace des fonctions numériques indéfiniment dérivables à support compact sur $R^{n}$ . On peut remplacer $𝒟^{'}$ par d’autres espaces : $ℰ^{'}$ , $𝒮^{'}$ , etc...

Le chapitre I étudie toutes les opérations ne faisant intervenir qu’une distribution vectorielle et une ou plusieurs distributions scalaires.

Le paragraphe 1 définit un espace $L ε M$ associé à deux espaces vectoriels topologiques localement convexes séparés arbitraires ; alors $𝒟^{'} (E)$ n’est autre que $𝒟^{'} ε E$ . Si $ℋ$ est un sous-espace de $𝒟^{'}$ , muni d’une topologie plus fine que la topologie induite, on définit alors le sous-espace. $ℋ (E)$ de $𝒟 (E)$ comme étant $ℋ ε E$ . Si $\vec{T} \in ℒ (𝒟; E)$ , sa transformée $^{t} \vec{T}$ est une application linéaire continue de $E_{c}^{'}$ dans $𝒟^{'}$ ( $E_{c}^{'}$ est le dual de $E$ , muni de la topologie de la convergence compacte). $^{t} \vec{T} (\overset{\leftarrow}{e^{'}})$ se notera aussi $〈 \vec{T}, \overset{\leftarrow}{e^{'}} 〉$ , pour $e^{'} \in E^{'}$ . Alors on dira qu’une distribution $\vec{T} \in 𝒟^{'} (E)$ appartient scalairement à $ℋ$ appartient à $ℋ (E)$ ; les espaces de distribution $𝒟, 𝒟^{'}, ℰ, ℰ^{'}, 𝒮, 𝒮^{'}$ , ont la propriété $ε$ .

Soient $ℋ, ℋ^{'}$ , deux espaces de distributions en dualité (par exemple $𝒮, 𝒮^{'}$ ). Alors si $S \in ℋ$ , $T \in ℋ^{'}$ , on peut définir un produit scalaire $S \cdot T$ , nombre complexe. Si maintenant $\vec{S} \in ℋ (E)$ , $T \in ℋ^{'}$ , on peut définir $\vec{S} \cdot T \in E$ , et cette extension du produit scalaire a les propriétés d’hypocontinuité qu’on attend.

On peut de même étendre le produit multiplicatif, et définir par exemple $α \vec{T} \in 𝒮^{'} (E)$ pour $α \in 𝒪_{M}$ , $\vec{T} \in 𝒮^{'} (E)$ , et le produit de convolution et définir par exemple $S * \vec{T} \in 𝒮^{'} (E)$ pour $S \in 𝒪_{c}^{'}$ , $\vec{T} \in 𝒮^{'} (E)$ . L’image Fourier d’une distribution tempérée $\vec{T} \in 𝒮^{'} (E)$ se définit par $ℱ \vec{T} (γ) = \vec{T} (ℱ ϕ)$ pour toute $ϕ \in 𝒮$ , ou par $〈 ℱ \vec{T}, \overset{\leftarrow}{e^{'}} 〉 = ℱ 〈 \vec{T}, \overset{\leftarrow}{e^{'}} 〉$ pour tout $\overset{\leftarrow}{e^{'}} \in E^{'}$ ; la transformation de Fourier ainsi étendue échange multiplication et convolution.

Le chapitre I étudie longuement le cas où $E$ est lui-même un espace de distributions (théorie des noyaux). Si ${ℋ = 𝒟}_{L^{1}}^{'}$ , $E$ quelconque $\vec{T} \in 𝒟_{L^{1}}^{'} (E)$ est dite sommable sur $R^{n}$ ; si $ℋ = (𝒟_{L^{1}}^{'})_{x}$ et $E = 𝒟_{y}^{'}$ , $T \in (D_{L^{1}}^{'})_{x} (𝒟_{y}^{'})$ est dite partiellement sommable en $x$ . Diverses applications aux opérations définies antérieurement sont étudiées.

Le chapitre II étudie les opérations faisant intervenir 2 distributions à valeurs vectorielles. D’abord on étudie diverses topologiques sur un produit tensoriel $L \otimes M$ ; on note ces topologies par $L \otimes_{λ} M$ , où $λ$ est l’une des 5 lettres $t, γ, β, π, ε$ . Soient alors $L, M, U, V$ , 4 espaces vectoriels quasi-complets.

Pour $ξ \in L {\overset{\cap}{\otimes}}_{λ} U$ , $η \in M {\overset{\cap}{\otimes}}_{t} V$ , on peut définir “un produit croisé” $Γ_{μ, λ} (ξ, η) \in (L {\overset{\cap}{\otimes}}_{μ} M) {\overset{\cap}{\otimes}}_{ε} (U {\overset{\cap}{\otimes}}_{λ} V)$ , dont on étudie systématiquement les propriétés.

Plus généralement si $ϕ, χ, ψ, ω$ , sont 4 des 5 lettres précédentes, on peut, dans certaines conditions, définir, pour $ξ \in L {\overset{\cap}{\otimes}}_{ϕ} U$ , $η \in M {\overset{\cap}{\otimes}}_{χ} V$ , un produit croisé appartenant à $(L {\overset{\cap}{\otimes}}_{ψ} M) {\overset{\cap}{\otimes}}_{ε} (U \otimes_{ω} V)$ .

Ce produit croisé peut être appliqué aux différentes produits de 2 distributions à valeurs vectorielles.

Soient $E$ , $F$ , $G$ , 3 espaces de Banach, et soit $B$ une application bilinéaire continue de $E \times F$ dans $G$ . Soient d’autre part $ℋ, 𝒦, ℒ$ , 3 espaces de distributions, et soit $U$ une application bilinéaire hypocontinue $(S \cdot T \to S \cup T$ de $ℋ \times 𝒦$ dans $ℒ$ (par exemple le produit scalaire $S \cdot T$ si $𝒦 = ℋ^{'}$ , $ℒ =$ corps des scalaires ; le produit multiplicatif si $ℋ = 𝒮^{'}$ , $𝒦 = O_{M}$ , $ℒ = 𝒮^{'}$ ; le produit de convolution si $ℋ = 𝒮^{'}$ , $𝒦 = O_{c}^{'}$ , $ℒ = 𝒮^{'}$ . Alors, si l’espace $ℋ$ est nucléaire, et si l’on a en outre quelques autres propriétés peu restrictives, on peut définir un produit croisé $\vec{S} \cup_{B} \vec{T} \in ℒ (G)$ , pour $\vec{𝒮} \in ℋ (E)$ , $\vec{T} \in 𝒦 (F)$ ; ce produit a les propriétés d’hypocontinuité qu’on peut normalement en attendre.

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DOI : 10.5802/aif.68

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Schwartz, Laurent. Théorie des distributions à valeurs vectorielles. I. Annales de l'Institut Fourier, Tome 7 (1957), pp. 1-141. doi : 10.5802/aif.68. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.68/

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