Ensembles de Sidon topologiques

Dechamps-Gondim, Myriam

Annales de l'Institut Fourier, Tome 22 (1972) no. 3, pp. 51-79.

On étudie les ensembles de Sidon d’un groupe abélien localement compact et métrisable $\Gamma$. Après avoir démontré des résultats sur la réunion, l’élargissement et la stabilité de ces ensembles lacunaires, on détaille le résultat fondamental de ce travail : lorsque le dual $G$ de $\Gamma$ est connexe, toute partie compacte d’intérieur non vide de $G$ est associée à tout ensemble de Sidon de $\Lambda$. Autrement dit, étant donné un compact $K$ d’intérieur non vide de $G$, toute fonction bornée à valeurs complexes définie sur un ensemble de Sidon $\Lambda$ de $\Gamma$ est la restriction à $\Lambda$ de la transformée de Fourier d’une mesure de Radon bornée sur $G$, à support dans $K$.

The purpose of this paper is to study topological Sidon sets on a metrizable locally compact abelian group $\Gamma$. Several results are proved on the union, enlarging and stability of such sets. Suppose that the dual group $G$ of $\Gamma$ is connected, the following result is proved: every compact subset of $G$ with non empty interior is associated to every Sidon set of $\Gamma$. More precisely: given every compact subset $K$ of $G$ with non empty interior, to every complex valued bounded function defined on a Sidon set $\Lambda$ of $\Gamma$ corresponds a bounded Radon measure supported by $K$ whose Fourier transforms restricted to $\Lambda$ is the given function.

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