Généralisation d’un théorème d’Iwasawa

Jaulent, Jean-François

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 17 (2005) no. 2, pp. 527-553.

Nous généralisons à certains quotients finis d’un $\Lambda$-module noethérien non nécessairement de torsion le classique théorème d’Iwasawa sur l’expression asymptotique du $\ell$-nombre de classes dans les ${\mathbb{Z}}_{\ell }$-extensions. Puis nous illustrons les résultats obtenus en déterminant explicitement les caractères invariants attachés aux $\ell$-groupes de $S$-classes $T$-infinitésimales dans une tour cyclotomique à partir de quelques paramètres référents et de données galoisiennes simples des extensions considérées. Un outil fondamental de cette étude est l’identité du miroir établie par Georges Gras, qui permet par dualité d’exprimer des conditions de ramification (sauvages ou modérées) dans une extension en termes de décomposition dans une autre extension. Les résultats obtenus précisent et complètent ceux établis dans un travail antérieur en collaboration avec Christian Maire (cf. [12]). L’étude approfondie des contributions sauvages repose sur une généralisation d’un résultat de R. Greenberg (cf. [3]).

We extend to convenient finite quotients of a noetherian $\Lambda$-module the classical result of K. Iwasawa giving the asymptotic expression of the $\ell$-part of the number of ideal class groups in ${\mathbb{Z}}_{\ell }$-extensions of number fields. Then, in the arithmetic context, we compute the three characters associated by this way to the $\ell$-groups of $T$-infinitesimal $S$-classes in the cyclotomic tower and relate them to the classical invariants and the decomposition characters associated to the finite sets of places $S$ and $T$. A main tool in this study is the so-called Spiegelungssatz of Georges Gras, which exchanges (wild or tame) ramification and decomposition. The main results of this arithmetical part extend those we obtained with Christian Maire in a previous article (cf. [12]). The most intricate study of the wild contribution of the sets $S$ and $T$ involves a generalization of a classical result of R. Greenberg on the genus theory of cyclotomic towers (cf. [3]).

[1] G. Gras, Théorèmes de réflexion. J. Théor. Nombres Bordeaux 10 (1998), 399–499. | Numdam | MR | Zbl

[2] G. Gras, Class field theory. From theory to practice. Springer Monographs in Math., Springer-Verlag (2003), xiv + 491pp. | MR | Zbl

[3] R. Greenberg, On a certain $\ell$-adic representation. Invent. Math. 21 (1973), 117–124. | MR | Zbl

[4] K. Iwasawa, On $\Gamma$-extensions of algebraic number fields. Bull. Am. Math. Soc. 65 (1958), 83–226. | MR | Zbl

[5] K. Iwasawa, On some invariants of cyclotomic fields. Am. J. Math. 80 (1958), 773–783. | MR | Zbl

[6] K. Iwasawa, On ${\mathbb{Z}}_{\ell }$-extensions of algebraic number fields. Ann. of Math. 98 (1973), 243–326. | MR | Zbl

[7] J.-F. Jaulent, $𝒮$-classes infinitésimales d’un corps de nombres algébriques. Ann. Sci. Inst. Fourier 34 (1984), 1–27. | Numdam | Zbl

[8] J.-F. Jaulent, Représentations $\ell$-adiques associées aux invariants cyclotomiques. Proc. Japan Acad. 61 (1985), 149–152. | MR | Zbl

[9] J.-F. Jaulent, L’arithmétique des $\ell$-extensions (Thèse d’Etat). Pub. Math. Fac. Sci. Besançon Théor. Nombres 1985–1986 (1986). | Zbl

[10] J.-F. Jaulent, La Théorie de Kummer et le $K_2$ des corps de nombres . J. Théor. Nombres Bordeaux 2 (1990 ), 377–411. | Numdam | MR | Zbl

[11] J.-F. Jaulent, Théorie $\ell$-adique globale du corps de classes. J. Théor. Nombres Bordeaux 10 (1998), 355–397. | Numdam | MR | Zbl

[12] J.-F. Jaulent & C. Maire, Sur les invariants d’Iwasawa des tours cyclotomiques. Canadian Math. Bull. 46 (2003), 178–190. | Zbl

[13] S. Lang , Cyclotomic Fields I and II (combined 2nd edition). Graduate Texts in Mathematics 121, Springer (1997). | MR | Zbl

[14] J.-P. Serre, Classes des corps cyclotomiques (d’après Iwasawa). Séminaire Bourbaki, exp. ${\mathrm{n}}^{\mathrm{o}}$ 174 (1958). | Numdam | Zbl

[15] L. C. Washington, Introduction to Cyclotomic Fields (2nd edition). Graduate Texts in Mathematics 83, Springer (1997). | MR | Zbl