$S$-classes infinitésimales d’un corps de nombres algébriques

Jaulent, Jean-François

Annales de l'Institut Fourier, Tome 34 (1984) no. 2, pp. 1-27.

Nous introduisons les notions de nombres et d’idéaux infinitésimaux attachés à un corps de nombres algébriques $K$ relativement à un nombre premier donné $\ell$, et nous interprétons le groupe de Galois $𝒜\left(K\right)$ de la $\ell$-extension abélienne $\ell$-ramifiée maximale de $K$ comme quotient du tensorisé ${\mathbf{Z}}_{\ell }{\otimes }_{\mathbf{Z}}J\left(K\right)$ du groupe des idéaux étrangers à $\ell$ par le sous-module engendré par les idéaux principaux-infinitésimaux. Nous en déduisons diverses conséquences sur l’arithmétique des groupes $𝒜\left(K\right)$, en montrant en particulier qu’ils donnent lieu à une théorie des genres en tout point analogue à celles des groupes de classes au sens ordinaire.

We introduce the notions of infinitesimal numbers and ideals attached to an algebraic number field $K$ for a given prime number $\ell$; we give an interpretation of the Galois group $𝒜\left(K\right)$ of the maximal abelian $\ell$-extension of $K$ unramified outside $\ell$ as the quotient of the tensor product ${\mathbf{Z}}_{\ell }{\otimes }_{\mathbf{Z}}J\left(K\right)$ ($J\left(K\right)$: group of ideals prime to $\ell$) by its submodule generated by the principal-infinitesimal ideals. Various consequences are obtained for the groups $𝒜\left(K\right)$; in particular, we show the existence of a genus theory which looks like the usual one .

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