Nouveaux résultats sur les petites perturbations d’équations d’évolutions aléatoires

Rajaonarison, Lyliane Irène; Rabeherimanana, Toussaint Joseph

Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 19 (2012) no. 1, pp. 271-296.

Dans cet article, nous étudions les résultats de grandes déviations associés au couple $(X^{\epsilon },{\nu }^{\epsilon })$, solution de l’E.D.S. interprétée au sens d’Itô :

$$d{X}_t^{\epsilon }=\sqrt{\epsilon }{\sigma }_{{\nu }^{\epsilon }\left(t\right)}\left(X_t^{\epsilon }\right)d{W}_t+b_{{\nu }^{\epsilon }\left(t\right)}\left(X_t^{\epsilon }\right)dt;X_0^{\epsilon }=x\in {ℝ}^d$$

avec des conditions assez générales sur les coefficients et dans les deux cas suivants :

Premier cas : ${\nu }^{\epsilon }$ est indépendant du mouvement brownien $W$ et satisfait à un principe de grandes déviations ;

Deuxième cas : ${\nu }^{\epsilon }$ est un processus markovien avec un nombre fini d’états $\{1,...,n\}$ vérifiant

$$\mathbb{P}\{{\nu }^{\epsilon }(t+\Delta )=j/{\nu }^{\epsilon }\left(t\right)=i,X^{\epsilon }\left(t\right)=x\}=d_{ij}\left(x\right)\Delta +o\left(\Delta \right)$$

uniformément dans ${ℝ}^d$ pourvu que $\Delta \downarrow 0,1\le i,j\le n,i\ne j$.

Ces résultats sont des extensions de ceux de Bezuidenhout [2] et d’Eizenberg & Freidlin [7] au cas où $\sigma$ est quelconque.

In this paper, we study a large deviations principle associated to the couple $(X^{\epsilon },{\nu }^{\epsilon })$, solution of Itô integral:

$$d{X}_t^{\epsilon }=\sqrt{\epsilon }{\sigma }_{{\nu }^{\epsilon }\left(t\right)}\left(X_t^{\epsilon }\right)d{W}_t+b_{{\nu }^{\epsilon }\left(t\right)}\left(X_t^{\epsilon }\right)dt;X_0^{\epsilon }=x\in {ℝ}^d$$

under general conditions on the coefficients, in the two following cases:

First case: ${\nu }^{\epsilon }$ is independant of the brownian motion $W$ and obeys a large deviations principle;

Second case: ${\nu }^{\epsilon }$ is a markovian process with finite states $\{1,...,n\}$ such that $\mathbb{P}\{{\nu }^{\epsilon }(t+\Delta )=j/{\nu }^{\epsilon }\left(t\right)=i,X^{\epsilon }\left(t\right)=x\}=d_{ij}\left(x\right)\Delta +o\left(\Delta \right)$ uniformely in ${ℝ}^d$, provided $\Delta \downarrow 0,1\le i,j\le n,i\ne j$.

Our results extend those of Bezuidenhout [2] and Eizenberg & Freidlin [7], to general $\sigma$.

Classification : 60F17, 60F10
Mots clés : Principe de grandes déviations, équations d’évolutions aléatoires, systèmes d’E.D.P., goulots de sortie

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