Théorie des distributions à valeurs vectorielles. II

Schwartz, Laurent

Annales de l'Institut Fourier, Tome 8 (1958), pp. 1-209.

Suite et fin de l’article paru dans le tome 7 des Annales de l’Institut Fourier. L’actuel chapitre II étudie les opérations faisant intervenir 2 distributions à valeurs vectorielles. D’abord on étudie diverses topologies sur un produit tensoriel $L\otimes M$ ; on note ces topologies par $L{\otimes }_{\lambda }M$, où $\lambda$ est l’une des 5 lettres $\tau ,\gamma ,\beta ,\pi ,\epsilon$. Soient alors $L,M,U,V$, 4 espaces vectoriels quasi-complets.

Pour $\xi \in L{\widehat{\otimes }}_{\lambda }U$, $\eta \in M{\widehat{\otimes }}_{\epsilon }V$, on peut définir “un produit croisé”

$${\Gamma }_{\mu ,\lambda }(\xi ,\eta )\in (L{\widehat{\otimes }}_{\mu }M){\widehat{\otimes }}_{\epsilon }(U{\widehat{\otimes }}_{\lambda }V),$$

dont on étudie systématiquement les propriétés.

Plus généralement si $\varphi ,\chi ,\psi ,\omega$, sont 4 des 5 lettres précédentes, on peut, dans certaines conditions, définir, pour $\xi \in L{\widehat{\otimes }}_{\varphi }U$, $\eta \in M{\widehat{\otimes }}_{\chi }V$, un produit croisé appartenant à $(L{\widehat{\otimes }}_{\psi }M){\widehat{\otimes }}_{\epsilon }(U{\otimes }_{\omega }V)$.

Ce produit croisé peut être appliqué aux différents produits de 2 distributions à valeurs vectorielles.

Soient $E,F,G,$ 3 espaces de Banach, et soit $B$ une application bilinéaire continue de $E\times F$ dans $G$. Soient d’autre part $\mathscr{H},𝒦,ℒ$, 3 espaces de distributions, et soit $U$ une application bilinéaire hypocontinue $(S·T)\to S\cup T$ de $\mathscr{H}\times \mathscr{H}$ dans $ℒ$ (par exemple le produit scalaire $S·T$ si $𝒦={\mathscr{H}}^{\prime }$, $ℒ=$ corps des scalaires ; le produit multiplicatif si $\mathscr{H}={𝒮}^{\prime }$, $𝒦={𝒪}_{M^{\prime }}ℒ={𝒮}^{\prime }$ ; le produit de convolution si $\mathscr{H}={𝒮}^{\prime }$, $𝒦={𝒪}_{c^{\prime }}^{\prime }ℒ=𝒮$. Alors, si l’espace $\mathscr{H}$ est nucléaire, et si l’on a en outre quelques autres propriétés peu restrictives, on peut définir un produit croisé $\overrightarrow{S}{\cup }_B\overrightarrow{T}\in ℒ\left(G\right)$, pour $\overrightarrow{𝒮}\in \mathscr{H}\left(E\right)$, $\overrightarrow{T}\in \mathscr{H}\left(F\right)$ ; ce produit a les propriétés d’hypocontinuité qu’on peut normalement en attendre.

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Schwartz-Dieudonné. Voir Dieudonné-Schwartz.