Représentation intégrale de certaines mesures quasi-invariantes sur $𝒞\left(𝐑\right)$; mesures extrémales et propriété de Markov

Royer, Gilles; Yor, Marc

Annales de l'Institut Fourier, Tome 26 (1976) no. 2, pp. 7-24.

On établit pour le cône $C$ des mesures $\mu$ positives bornées sur $𝒞\left(\mathbf{R}\right)$, quasi-invariantes sous les translations de $𝒟\left(\mathbf{R}\right)$ et vérifiant :

$$\mu (f+dw)=\mu \left(dw\right)\exp {\int }_{R}dt\left[\right(w\left(t\right)+\frac{1}{2}f\left(t\right))f^{\prime \prime }\left(t\right)-P\left(w\right(t)+f\left(t\right)+P\left(w\right(t\left)\right)]$$

(avec $P$ polynôme borné inférieurement) les résultats suivants :

– Toute mesure de $C$ est intégrale de mesures appartenant aux génératrices extrémales de $C$.

– Les génératrices extrémales de $C$ sont composées de mesures markoviennes.

The following results are obtained for the cone $C$ of positive, bounded measures $\mu$ on $𝒞\left(\mathbf{R}\right)$, quasi-invariant under $𝒟\left(\mathbf{R}\right)$ translations and verifying:

$$\mu (f+dw)=\mu \left(dw\right)\exp {\int }_{R}dt\left[\right(w\left(t\right)+\frac{1}{2}f\left(t\right))f^{\prime \prime }\left(t\right)-P\left(w\right(t)+f\left(t\right)+P\left(w\right(t\left)\right)]$$

(with $P$ a polynomial bounded below):

– Each measure of $C$ is the integral of measures belonging to extremal rays of $C$.

– Extremal rays of $C$ are composed of markovian measures.

[1] J. M. Bony, Opérateurs elliptiques dégénérés associés aux axiomatiques de théorie du potentiel, Cours au C.I.M.E. (Juin 1970). | MR | Zbl

[2] M. Brelot, Éléments de la théorie classique du potentiel, (C.D.U., Paris, 4e édition). | Zbl

[3] Bourbaki, Intégration sur les espaces topologiques séparés. | Zbl

[4] P. Courrege et P. Renouard, Oscillateur anharmonique, mesures quasi-invariantes sur C(R, R) et théorie quantique des champs en dimension d = 1, Astérisque, n° 22-23. | Numdam | Zbl

[5] G. Choquet, Lectures on analysis; II : representation theory.

[6] G. Choquet, Les cônes faiblement complets dans l'analyse, Proceedings of the international congress of mathematicians, (1962), 317. | Zbl

[7] K. Gowrisankaran, Limites fines et fonctions doublement harmoniques, C.R.A.S., Paris, tome 262 (14/2/1966). | MR | Zbl

[8] B. Malgrange, Existence et approximation des solutions des équations aux dérivées partielles et des équations de convolution, Ann. Inst. Fourier, VI (1955-1956), 271-354. | Numdam | MR | Zbl

[9] P. A. Meyer, Probabilités et potentiel. | Zbl

[10] J. Neveu, Bases mathématiques du calcul des probabilités. | Zbl

[11] P. Priouret, École d'été de probabilités de Saint-Flour, 1973, Lectures notes in mathematics, Vol. 390. | Zbl

[12] P. Priouret et M. Yor, Processus de diffusion à valeurs dans R et mesures quasi-invariantes sur C(R, R), Astérisque, n° 22-23. | Numdam | Zbl

[13] G. Royer, Unicité de certaines mesures quasi-invariantes sur C(R), A paraître. | Numdam | Zbl

[14] Séminaire Schwartz 1969/1970, Applications radonifiantes, exposé 3.

[15] L. Schwartz, Théorie des distributions. | Zbl

[16] M. Yor, Étude de mesures de probabilités sur C(R+*, R) quasi-invariantes par les translations de D(R+*, R), A paraître. | Numdam | Zbl