Équations différentielles invariantes sur les groupes et algèbres de Lie réductifs

Bouaziz, Abderrazak; Kamoun, Nouri

Annales de l'Institut Fourier, Tome 50 (2000) no. 6, pp. 1799-1857.

Soient $G$ un groupe de Lie réductif d’algèbre de Lie $𝔤$, $D$ un opérateur différentiel non nul à coefficients constants et $G$-invariant sur $𝔤$, et $v$ une distribution $G$-invariante sur $𝔤$. Nous montrons que l’équation différentielle $D·u=v$ a des solutions dans l’espace des distributions $G$-invariantes sur $𝔤$; de plus, si $v$ est tempérée ou d’ordre fini, on peut trouver des solutions ayant les mêmes propriétés. Si $D$ est un opérateur différentiel bi-invariant non nul sur $G$, Benabdallah et Rouvière ont donné une condition suffisante pour qu’il ait une solution élémentaire centrale; nous montrons que leur condition est encore suffisante pour que l’équation différentielle $D·u=v$ admette des solutions dans l’espace des distributions centrales d’ordre fini sur $G$.

Let $G$ be a reductive Lie group with Lie algebra $𝔤$, $D$ be a non zero $G$-invariant differential operator with constant coefficients on $𝔤$ and $v$ be a $G$-invariant distribution on $f$. We prove that the differential equation $D·u=v$ has solutions in the space of $G$-invariant distributions on $𝔤$; moreover, if $v$ is tempered or of finite order, we can find solutions with the same properties. If $D$ is a non zero bi-invariant differential operator on $G$, Benabdallah and Rouvière gave a sufficient condition for $D$ to have a central fundamental solution on $G$. We prove that their condition is also sufficient for the differential equation $D·u=v$ to have solutions in the space of finite order central distributions on $G$.

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