Quotients de fonctions entières et quotients de Hadamard de séries formelles

Bézivin, Jean-Pierre

Annales de l'Institut Fourier, Tome 39 (1989) no. 3, pp. 737-752.

Dans cet article, nous démontrons deux résultats. L’un concerne les séries $f^{\prime }\left(z\right)=\sum a\left(n\right)z^n/n!$ telles que $\sum a\left(n\right)x^n$ est une série algébrique. Soit $AE$ cet ensemble de fonctions. Si $f$ appartient à $AE$, et si $g\left(z\right)$ est un polynôme-exponentiel tel que $h\left(z\right)=f\left(z\right)/g\left(z\right)$ est entière, alors il existe un polynôme $P\left(z\right)$ tel que $P\left(z\right)h\left(z\right)$ appartienne à $AE$.

L’autre résultat est parallèle au premier. Soit $\sum u\left(n\right)x^n$ une série algébrique à coefficients dans un corps $𝕂$ (qui est soit $𝕂$, soit un corps quadratique imaginaire). Soit $\sum v\left(n\right)x^n$ une série rationnelle à coefficients dans $𝕂$. Avec quelques conditions restrictives sur la suite $v\left(n\right)$, on montre que si $a\left(n\right)=u\left(n\right)/v\left(n\right)$ est un entier de $𝕂$ pour tout $n$, alors la série $\sum a\left(n\right)x^n$ est une série algébrique.

In this paper, we prove two results. The first is about power series $f\left(z\right)=\sum a\left(n\right)z^n/n!$ such that $\sum a\left(n\right)z^n$ is an algebraic power series. Note by $AE$ this set of functions. Let $f$ in $AE$, $g$ an exponential-polynomial, and suppose that $h\left(z\right)=f\left(z\right)/g\left(z\right)$ is an entire functions. Then there exist a polynomial $P$ such that $P\left(z\right)h\left(z\right)$ belongs to $AE$.

The other result is the following. Let $\sum u\left(n\right)x^n$ be an algebraic power series, and $\sum v\left(n\right)x^n$ a rational power series with coefficients in $𝕂$ ($𝕂$ is either $\mathbb{Q}$, or a quadratic imaginary extension of $\mathbb{Q}$). Suppose that $a\left(n\right)=u\left(n\right)/v\left(n\right)$ is an algebraic integer of $𝕂$ for all $n$. With some additional conditions on the sequence $v\left(n\right)$, we show that $\sum a\left(n\right)x^n$ is also an algebraic power series.

[1] Y. André, G-functions and Geometry. Chap. VIII. Livre à paraître, Editions Vieweg, collection Aspects of Mathematics series of the MPI Bonn. | Zbl

[2] V. Avanissian et R. Gay, Sur une transformation des fonctionnelles analytiques et ses applications aux fonctions entières de plusieurs variables, Bull. Soc. Math. France, 103, n° 3 (1975), 341-384. | Numdam | MR | Zbl

[3] B. Benzaghou, Algèbres de Hadamard, Bull. Soc. Math. France, 28 (1970), 209-252. | Numdam | MR | Zbl

[4] C.A. Berenstein and M.A. Dostal, The Ritt's theorem in several variables, Ark. Math., 12, n° 2 (1974), 267-280. | MR | Zbl

[5] G. Christol, Diagonales de fractions rationnelles, A paraître au Séminaire de Théorie des Nombres de Paris. | Zbl

[6] P.D. Lax, The quotients of exponentials polynomials, Duke Math. Journal, 15 (1948), 967-970. | MR | Zbl

[7] E. Lindelof, Sur les fonctions entières d'ordre entier, Ann. Sci. Ecole Normale Sup., 22 (1905), 369-395. | JFM | Numdam

[8] Y. Pourchet, Solution du problème arithmétique du quotient de Hadamard de deux fractions rationnelles, C.R. Acad. Sci., Paris, 288, série A (1979), 1055-1057. | MR | Zbl

[9] J.F. Ritt, On the zeros of exponential polynomials, Trans. Amer. Math. Soc., 29 (1927), 584-596.

[10] R. Rumely, Notes on Van der Poorten's proof of the Hadamard quotient theorem, A paraître au Séminaire de Théorie des Nombres de Paris. | Zbl

[11] H. Selberg, Uber einige transzendente Gleichungen, Avh. Norske. Vid. Akad. Oslo, I, n° 10 (1932), 1-8. | Zbl

[12] H. Selberg, Einige Darstellungsatze aus der Theorie der ganzer Funktionen endlicher Ordnung, J. Mat. Naturvid Klasse, 10, n° 1 (1934), 7-15. | Zbl

[13] A. Shield, On quotients of exponential-polynomials, Comm. on pure and applied Math., 16 (1963), 27-31. | MR | Zbl

[14] M. Tsuji, On a power series which has only algebraic singularities on its convergence circle, Japanese Journal of Math., 3 (1926), 69-85. | JFM

[15] A.J. Van Der Poorten, Solution de la conjecture de Pisot sur le quotient de Hadamard de deux fractions rationnelles, C.R. Acad. Sci., Paris, 306, série I (1988), 97-102. | MR | Zbl