Résurgence-sommabilité de séries formelles ramifiées dépendant d’un paramètre et solutions d’équations différentielles linéaires

Rasoamanana, Jean-Marc

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 19 (2010) no. 2, pp. 303-343.

Dans cet article, nous établissons le caractère résurgent-sommable de séries formelles ramifiées solutions d’une classe d’équations différentielles linéaires. Nous analysons d’une part le problème de la dépendance analytique des sommes de Borel de telles séries par rapport aux paramètres de cette classe d’équations différentielles linéaires d’ordre deux, et d’autre part, nous analysons la structure résurgente complète associée à ces séries formelles via l’outil des singularités générales (ou microfonctions). Ceci permet d’étendre des résultats dûs à Y. Sibuya dans [31], et également de fournir une illustration du puissant outil qu’est le calcul étranger de J. Ecalle.

In this article, we investigate the Borel-resummable and resurgent properties of formal power series, solutions of a class of linear differential equations. In particular, we study the analytic dependence of the associated Borel sum in the parameters of the equations. We also analyse the whole resurgent structure associated with these formal power series thanks to the tool of microfunctions and the so-called alien derivatives. These analysis allow us to extend some results due to Y. Sibuya in [31], and to illustrate the powerful alien calculus of J. Ecalle.

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