Premiers pas en calcul étranger

Candelpergher, B.; Nosmas, Jean-Claude; Pham, Frédéric

Annales de l'Institut Fourier, Tome 43 (1993) no. 1, pp. 201-224.

Cet exposé est une introduction au calcul étranger d’Écalle, c’est-à-dire au calcul des obstructions à la sommabilité de Borel d’une grande classe de séries formelles, les fonctions résurgentes d’Écalle. La théorie d’Écalle éclaire d’un jour neuf le célèbre phénomène de Stokes qui est illustré ici dans le contexte de la méthode du col.

The expository paper is an introduction to Écalle’s alien calculus, i.e. the calculus of obstructions to Borel summability of a wide class of formal series, Écalle’s resurgent functions. Écalle’s theory sheds a new light on the celebrated Stokes phenomenon, which is illustrated here in connection with the saddlepoint method.

[E1] J. Écalle, Les fonctions résurgentes, Publ. Math. Université Paris-Sud (3 tomes), 1981. | Zbl

[E2] J. Écalle, Cinq applications des fonctions résurgentes, (preprint 84 T 62, Orsay), 1984.

[E3] J. Écalle, Finitude des cycles limites et accéléro-sommation de l'application de retour [in Bifurcations of planar vector fields], J.P. Françoise & J.C. Roussarie Ed., Lecture Notes in Maths n° 1455, Springer, 1990. | MR | Zbl

[E4] J. Écalle, Fonctions analysables et preuve constructive de la conjecture de Dulac, Actualités Mathématiques, Hermann (à paraître).

Exégèse niçoise :

[C] B. Candelpergher, Une introduction à la résurgence, Gazette des Mathématiciens (Soc. Math. France), 42 (oct. 89), (peut aider le lecteur dans ses premiers pas). | MR | Zbl

[CNP] B. Candelpergher, Jc. Nosmas et F. Pham, Approche de la résurgence, à paraître dans Actualités Mathématiques, Hermann (livre dont le présent exposé constitue un avant-goût).

[Ph1] F. Pham, Resurgence, Quantized Canonical Transformations, and Multi-Instanton Expansions [in Algebraic Analysis] (paper dedicated to M. Sato), Acad. Press, 1988.

[Ph2] F. Pham, Résurgence d'un thème de Huygens-Fresnel, Publ. Math. IHES, 68 (volume en l'honneur de R. Thom) (1988). | Numdam | MR | Zbl

[Ph3] F. Pham, Fonctions résurgentes implicites, C.R. Acad. Sci. Paris, 309, Sér. I (1989), 999-1001. | MR | Zbl

[Ji] A.O. Jidoumou, Modèles de résurgence paramétrique (fonctions d'Airy et cylindro-paraboliques), Thèse de Doctorat, Nice, 1990 (à paraître dans J. Math. Pures Appl.). | Zbl

B. Malgrange a été le premier à populariser les travaux d'Écalle :

[Ma1] B. Malgrange, Travaux d'Écalle et de Martinet-Ramis sur les systèmes dynamiques, Sém. Bourbaki 1981-1982, Astérisque, 92-93, exp. n° 582 (1982). | Numdam | Zbl

[Ma2] B. Malgrange, Introduction aux travaux de J. Écalle, L'Enseignement Mathématique, 31 (1985), 261-282. | MR | Zbl

C'est lui notamment qui a permis à Écalle et Voros de comparer leurs démarches :

[V] A. Voros, The return of the quartic oscillator (the complex WKB method), Ann. Inst. H. Poincaré, 29, 3 (1983). | Numdam | MR | Zbl

Sur le même sujet voir aussi :

[DDP] E. Delabaere, H. Dillinger, F. Pham, Résurgence de Voros et périodes des courbes hyperelliptiques, Ann. Inst. Fourier, 43, 1 (1993), 163-199. | Numdam | MR | Zbl

Avec des motivations qui recoupent celles d'Écalle, Martinet et Ramis ont développé un formalisme sensiblement différent :

[MR1] J. Martinet, J.P. Ramis, Problèmes de modules pour les équations différentielles non linéaires du premier ordre, Publ. Math. IHES, 55 (1982), 117-214. | Numdam | MR | Zbl

[MR2] J. Martinet, J.P. Ramis, Théorie de Galois différentielle et resommation [in Computer Algebra and Differential Equations], E. Tournier Ed., Acad. Press, 1984. | Zbl

[MR3] J. Martinet, J.P. Ramis, Théorie de Cauchy sauvage (livre en préparation).

Pour ces auteurs, les fonctions résurgentes sont des fonctions analytiques dans des voisinages infiniment petits de l'origine (leur variable x étant l'inverse de la nôtre), qu'il s'agit de prolonger analytiquement dans la partie standard du plan complexe. Lors de ces prolongements analytiques on prendra garde d'éviter les singularités infiniment proches (que la transformation de Borel permet de “regarder à la loupe”). Selon le chemin choisi pour les éviter on obtiendra des prolongements analytiques différents (qui seront les sommations de Borel latérales, et leurs généralisations appelées accéléro-sommations d'Écalle, dont nous n'avons pas parlé ici). Dans ce point de vue, les phénomènes de Stokes mesurent donc le défaut de monodromie autour des singularités infiniment proches. Très séduisant pour un géomètre, ce point de vue éclaire d'une lumière neuve une question fascinante : que dire du prolongement analytique d'une fonction qui n'est connue qu'approximativement ?

A propos des phénomènes de Stokes, les références sont innombrables. En voici deux particulièrement instructives :

[Di] R.B. Dingle, Asymptotic Expansions : their Derivation and Interpretation, Academic Press, 1973. | MR | Zbl

[Be] M.V. Berry, Stokes Phenomenon : Smoothing a Victorian Discontinuity, Publ. Math. IHES, 68 (vol. en l'honneur de R. Thom) (1988). | Numdam | MR | Zbl