Sur le codage du flot géodésique dans un arbre

Broise-Alamichel, Anne; Paulin, Frédéric

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 16 (2007) no. 3, pp. 477-527.

Étant donné un arbre $T$ et un groupe $\Gamma$ d’automorphismes de $T$, nous étudions les propriétés markoviennes du flot géodésique sur le quotient de l’espace des géodésiques de $T$ par $\Gamma$. Par exemple, quand $T$ est l’arbre de Bruhat-Tits d’un groupe algébrique linéaire connexe semi-simple $\underline{G}$ de rang 1 sur un corps local non archimédien $\widehat{K}$ et si $\Gamma$ est un réseau (éventuellement non uniforme) dans $\underline{G}\left(\widehat{K}\right)$, nous montrons que l’action des puissances paires de la transformation géodésique est Bernoulli d’entropie finie sur chacune des deux composantes ergodiques. Sous des hypothèses générales bénignes, nous montrons que si le flot géodésique est mélangeant pour une mesure de probabilité de Patterson-Sullivan-Bowen-Margulis, alors il est lâchement Bernoulli

Given a tree $T$ and a group $\Gamma$ of automorphisms of $T$, we study the markovian properties of the geodesic flow on the quotient by $\Gamma$ of the space of geodesics of $T$. For instance, when $T$ is the Bruhat-Tits tree of a semi-simple connected algebraic group $\underline{G}$ of rank one over a non archimedian local field $\widehat{K}$, and $\Gamma$ is a (possibly non uniform) lattice in $\underline{G}\left(\widehat{K}\right)$, we prove that the type preserving geodesic flow is Bernoulli with finite entropy on each ot the two ergodic components. Under some mild assumptions, we prove that if the quotient geodesic flow is mixing for a probability Patterson-Sullivan-Bowen-Margulis measure, then it is loosely Bernoulli

[Alp] Alperin (A.).— An elementary account of Selberg’s lemma, L’Ens. Math., 33, p. 269-373 (1987). | Zbl

[ASS] Adler (R.L.), Shields (P.), Smorodinsky (M.).— Irreducible Markov shifts, Ann. Math. Statistics, 43, p. 1027-1029 (1972). | MR | Zbl

[BL] Bass (H.), Lubotzky (A.).— Tree lattices, Prog. Math. 176, Birkhäuser, 2001. | MR | Zbl

[Bou] Bourdon (M.).— Structure conforme au bord et flot géodésique d’un CAT($-1$) espace, L’Ens. Math. 41, p. 63-102 (1995). | Zbl

[BH] Bridson (M.R.), Haefliger (A.).— Metric spaces with non-positive curvature, Grund. math. Wiss. 319, Springer Verlag, 1998. | MR | Zbl

[BP] Broise-Alamichel (A.), Paulin (F.).— Dynamique sur le rayon modulaire et fractions continues en caractéristique $p$, Prépublication, Univ. Orsay 2002.

[BT] Bruhat (F.), Tits (J.).— Groupes réductifs sur un corps local (données radicielles valuées), Pub. Math. I.H.E.S. 41, p. 5-252 (1972). | Numdam | MR | Zbl

[BM] Burger (M.), Mozes (S.).— CAT($-1$) spaces, divergence groups and their commensurators, J. Amer. Math. Soc. 9, p. 57-94 (1996). | MR | Zbl

[Coo] Coornaert (M.).— Mesures de Patterson-Sullivan sur le bord d’un espace hyperbolique au sens de Gromov, Pacific J. Math. 159, p. 241-270 (1993). | Zbl

[CP] Coornaert (M.), Papadopoulos (A.).— Symbolic dynamics and hyperbolic groups, Lect. Notes Math. 1539, Springer Verlag, 1993. | MR | Zbl

[DOP] Dal’Bo (F.), Otal (J.-P.), Peigné (M.).— Séries de Poincaré des groupes géométriquement finis, Israel J. Math. 118, p. 109-124 (2000). | Zbl

[FO] Friedman (N.), Ornstein (D.).— On isomorphism of weak Bernoulli transformations, Adv. Math. 5, p. 365-394 (1971). | MR | Zbl

[GL] Gaboriau (D.), Levitt (G.).— The rank of actions on $ℝ$-trees, Ann. Scien. Ec. Norm. Sup. (4) 28, p. 549-570 (1995). | Numdam | MR | Zbl

[HK] Hasselblatt (H.), Katok (A.) eds..— Handbook of Dynamical Systems, Elsevier, 2002. | Zbl

[HP1] Hersonsky (S.), Paulin (F.).— Counting orbit points in covering of negatively curved manifolds and Hausdorff dimension of cusp excursions, Erg. Theo. Dyn. Sys. 24, p. 803-824 (2004). | MR | Zbl

[HP2] Hersonsky (S.), Paulin (F.).— A logarithm law for tree automorphism groups, to appear in Arkiv der Mathematik.

[Kai] Kaimanovich (V.A.).— Bowen-Margulis and Patterson measures on negatively curved compact manifolds. in “Dynamical systems and related topics” (Nagoya, 1990), p. 223-232, Adv. Ser. Dyn. Syst. 9, World Sci. Pub. 1991.

[Kit] Kitchens (B.).— Symbolic dynamics : one-sided, two sided and countable state Markov shifts, Universitext, Springer Verlag, 1998. | MR | Zbl

[LP] Ledrappier (F.), Pollicott (M.).— Distribution results for lattices in SL$(2,{\mathbb{Q}}_p)$, Bul. Braz. Math. Soc. 36, p. 143-176 (2005). | MR | Zbl

[LW] Lindenstrauss (E.), Weiss (B.).— On sets invariants under the action of the diagonal group, Erg. Theo. Dyn. Sys. 21, p. 1481-1500 (2001). | MR | Zbl

[Lub] Lubotzky (A.).— Lattices in rank one Lie groups over local fields, GAFA 1, p. 405-431 (1991). | MR | Zbl

[Mar1] Margulis (G.).— Discrete subgroups of semi-simple groupes, Ergeb. Math. Grenz. 17, Springer Verlag, 1991. | MR | Zbl

[Mar2] Margulis (G.).— Problems and conjectures in rigidity theory, in “Mathematics : frontiers and perspectives 2000”, Amer. Math. Soc., p. 161-174 (2000). | Zbl

[Moz] Mozes (S.).— Actions of Cartan subgroups, Israel J. Math. 90, p. 253-294 (1995). | MR | Zbl

[Orn] Ornstein (D.).— Factors of Bernoulli shifts are Bernoulli shifts, Adv. Math. 5, p. 349-364 (1971). | MR | Zbl

[Pau] Paulin (F.).— Groupes géométriquement finis d’automorphismes d’arbres et approximation diophantienne dans les arbres, Manuscripta Math. 113, p. 1-23 (2004). | Zbl

[Rob] Roblin (T.).— Ergodicité et équidistribution en courbure négative, Mémoires Soc. Math. France, 95 (2003). | Numdam | MR | Zbl

[Sel] Sela (Z.).— Acylindrical accessibility for groups, Inv. Math. 129, p. 528-565 (1997). | MR | Zbl

[Ser] Serre (J.-P.).— Arbres, amalgames, SL${}_2$, Astérisque 46, Soc. Math. France (1983). | Numdam | MR | Zbl

[Tom] Tomanov (G.).— Actions of maximal tori on homogeneous spaces, in “Rigidity in dynamics and geometry” (Cambridge, 2000), M. Burger, A. Iozzi eds, Springer Verlag, p. 407-424 (2002). | Zbl

[Tho] Thouvenot (J.-P.).— Entropy, isomorphism and equivalence in ergodic theory, in Hand. Dyn. Sys. Vol. 1A, B. Hasselblatt, A. Katok eds., Elsevier, p. 205-238 (2002). | MR | Zbl

[Zim] Zimmer (R.J.).— Ergodic theory and semisimple groups, Birkhauser, 1984. | MR | Zbl