Nonlinear analysis with resurgent functions

Sauzin, David

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 48 (2015) no. 3, pp. 667-702.

Nous obtenons des estimations pour le produit de convolution d'un nombre arbitraire de « fonctions résurgentes », c'est-à-dire de fonctions holomorphes à l'origine du plan complexe qui se prolongent anaytiquement en dehors d'un sous-ensemble fermé discret stable par addition. Ces estimations sont ensuite utilisées pour effectuer des opérations non linéaires avec les fonctions résurgentes, comme la substitution dans une série convergente, la composition ou l'inversion fonctionnelle, et pour justifier les règles du « calcul étranger »  ; elles permettent aussi d'obtenir un théorème des fonctions résurgentes implicites. Les mêmes opérations non linéaires peuvent être effectuées dans le cadre de la sommabilité de Borel-Laplace.

We provide estimates for the convolution product of an arbitrary number of “resurgent functions”, that is holomorphic germs at the origin of ℂ that admit analytic continuation outside a closed discrete subset of ℂ which is stable under addition. Such estimates are then used to perform nonlinear operations like substitution in a convergent series, composition or functional inversion with resurgent functions, and to justify the rules of “alien calculus”; they also yield implicitly defined resurgent functions. The same nonlinear operations can be performed in the framework of Borel-Laplace summability.

Classification : 30D05, 37F99, 32D15
Keywords: Resurgent functions, convolution product, Borel summability, analytic continuation.
Mot clés : Fonctions résurgentes, produit de convolution, sommabilité de Borel, prolongement analytique.

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