Deformations of Levi flat hypersurfaces in complex manifolds

de Bartolomeis, Paolo; Iordan, Andrei

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 48 (2015) no. 2, pp. 281-311.

Nous commençons par présenter une théorie des déformations de distributions intégrables de codimension 1. Cette théorie est utilisée pour étudier les déformations d'hypersurfaces Levi plates: une déformation Levi plate d'une hypersurface Levi plate $L$ dans une variété complexe $M$ est une application lisse $\Psi :I\times M\to M$ telle que ${\Psi }_t=\Psi \left(t,·\right)\in \mathrm{Diff}\left(M\right)$, $L_t={\Psi }_{t}L$ est une hypersurface Levi plate dans $M$ pour tout $t\in I$ et $L_0=L$. Nous définissons une paramétrisation des hypersurfaces Levi plates au voisinage de $L$ telle que les déformations d'hypersurfaces Levi plates de $L$ sont données par les solutions de l'équation de Maurer-Cartan dans une DGLA associée au feuilletage de Levi.

Nous disons que $L$ est infinitésimalement rigide si le cône tangent à l'origine de l'espace de modules des déformations Levi plates de $L$ est trivial. Nous prouvons que les hypersurfaces de Levi plates compactes transversalement parallélisables dans les variétés complexes compactes sont infinitésimalement rigides et nous donnons des conditions suffisantes pour la rigidité infinitésimale dans les variétés de Kähler. Comme application, nous démontrons la non existence d'hypersurfaces Levi plates transversalement parallélisables dans une classe de variétés qui contient l'espace projectif complexe de dimension $n⩾2$.

We first give a deformation theory of integrable distributions of codimension 1. This theory is used to study Levi-flat deformations: a Levi-flat deformation of a Levi flat hypersurface $L$ in a complex manifold is a smooth mapping $\Psi :I\times M\to M$ such that ${\Psi }_t=\Psi \left(t,·\right)\in \mathrm{Diff}\left(M\right)$, $L_t={\Psi }_{t}L$ is a Levi flat hypersurface in $M$ for every $t\in I$ and $L_0=L$. We define a parametrization of families of smooth hypersurfaces near $L$ such that the Levi flat deformations are given by the solutions of the Maurer-Cartan equation in a DGLA associated to the Levi foliation. We say that $L$ is infinitesimally rigid if the tangent cone at the origin to the moduli space of Levi flat deformations of $L$ is trivial. We prove the infinitesimal rigidity of compact transversally parallelizable Levi flat hypersurfaces in compact complex manifolds and give sufficient conditions for infinitesimal rigidity in Kähler manifolds. As an application, we prove the nonexistence of transversally parallelizable Levi flat hypersurfaces in a class of manifolds which contains ${\mathrm{ℂ\mathbb{P}}}_2$.

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