Deformations of Levi flat hypersurfaces in complex manifolds

de Bartolomeis, Paolo; Iordan, Andrei

doi:10.24033/asens.2245

Deformations of Levi flat hypersurfaces in complex manifolds
[Déformations des hypersurfaces Levi plates dans des variétés complexes]

de Bartolomeis, Paolo ; Iordan, Andrei

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 48 (2015) no. 2, pp. 281-311.

Résumé
Abstract

Nous commençons par présenter une théorie des déformations de distributions intégrables de codimension 1. Cette théorie est utilisée pour étudier les déformations d'hypersurfaces Levi plates: une déformation Levi plate d'une hypersurface Levi plate $L$ dans une variété complexe $M$ est une application lisse $Ψ : I \times M \to M$ telle que $Ψ_{t} = Ψ (t, \cdot) \in Diff (M)$ , $L_{t} = Ψ_{t} L$ est une hypersurface Levi plate dans $M$ pour tout $t \in I$ et $L_{0} = L$ . Nous définissons une paramétrisation des hypersurfaces Levi plates au voisinage de $L$ telle que les déformations d'hypersurfaces Levi plates de $L$ sont données par les solutions de l'équation de Maurer-Cartan dans une DGLA associée au feuilletage de Levi.

Nous disons que $L$ est infinitésimalement rigide si le cône tangent à l'origine de l'espace de modules des déformations Levi plates de $L$ est trivial. Nous prouvons que les hypersurfaces de Levi plates compactes transversalement parallélisables dans les variétés complexes compactes sont infinitésimalement rigides et nous donnons des conditions suffisantes pour la rigidité infinitésimale dans les variétés de Kähler. Comme application, nous démontrons la non existence d'hypersurfaces Levi plates transversalement parallélisables dans une classe de variétés qui contient l'espace projectif complexe de dimension $n ⩾ 2$ .

We first give a deformation theory of integrable distributions of codimension 1. This theory is used to study Levi-flat deformations: a Levi-flat deformation of a Levi flat hypersurface $L$ in a complex manifold is a smooth mapping $Ψ : I \times M \to M$ such that $Ψ_{t} = Ψ (t, \cdot) \in Diff (M)$ , $L_{t} = Ψ_{t} L$ is a Levi flat hypersurface in $M$ for every $t \in I$ and $L_{0} = L$ . We define a parametrization of families of smooth hypersurfaces near $L$ such that the Levi flat deformations are given by the solutions of the Maurer-Cartan equation in a DGLA associated to the Levi foliation. We say that $L$ is infinitesimally rigid if the tangent cone at the origin to the moduli space of Levi flat deformations of $L$ is trivial. We prove the infinitesimal rigidity of compact transversally parallelizable Levi flat hypersurfaces in compact complex manifolds and give sufficient conditions for infinitesimal rigidity in Kähler manifolds. As an application, we prove the nonexistence of transversally parallelizable Levi flat hypersurfaces in a class of manifolds which contains ${ℂℙ}_{2}$ .

MR Zbl

DOI : 10.24033/asens.2245

Classification : 32G10; 32E99, 51M99, 32Q99.
Keywords: Levi flat hypersurface, transversally parallelizable foliation, differentiable graded linear algebra, infinitesimal rigidity.
Mot clés : Hypersurface de Levi plate, feuilletage transversalement parallélisable, algèbre de Lie différentielle graduée, rigidité infinitésimale.

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de Bartolomeis, Paolo; Iordan, Andrei. Deformations of Levi flat hypersurfaces in complex manifolds. Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 48 (2015) no. 2, pp. 281-311. doi : 10.24033/asens.2245. http://www.numdam.org/articles/10.24033/asens.2245/

Bibliographie
Cité par

Brunella, M. (2010) (personal communication)

Cartan, É. Sur la géométrie pseudo-conforme des hypersurfaces de l'espace de deux variables complexes, Ann. Mat. Pura Appl., Volume 11 (1932), pp. 17-90 | DOI | JFM | MR | Zbl

Cerveau, D. Minimaux Des Feuilletages Algébriques de ${C P}_{n}$ , Ann. Inst. Fourier, Volume 43 (1993), pp. 1535-1543 | DOI | Numdam | MR | Zbl

de Bartolomeis, P. $Z$ and $Z_{2}$ -Deformation Theory for Holomorphic and Symplectic Manifolds, Complex, Contact, and Symmetric Manifolds (Birkhäuser, ed.) (PM), Volume 234 (2005), pp. 75-103 | DOI | MR | Zbl

Diederich, K.; Ohsawa, T. On the Displacement Rigidity of Levi Flat Hypersurfaces - The Case of Boundaries of Disc Bundle over Compact Riemann Surfaces, Publ. RIMS, Volume 43 (2007), pp. 171-180 | DOI | MR | Zbl

Gong, X.; Burns, D. Singular Levi-Flat Real Analytic Hypersurfaces, Amer. J. Math., Volume 121 (1999), pp. 23-53 | DOI | MR | Zbl

Gerstenhaber, M. On Deformation on Rings and Algebras, Ann. of Math., Volume 79 (1964), pp. 59-103 | DOI | MR | Zbl

Goldman, W.; Millson, J. The Deformation Theory of Representations of Fundamental Groups of Compact Kähler Manifolds, Publ. Math. IHÉS, Volume 67 (1988), pp. 43-96 | DOI | Numdam | MR | Zbl

Godbillon, C., Birkhäuser, 1991

Grey, J. W. Some Global Properties of Contact Structures, Ann. of Math., Volume 69 (1959), pp. 421-450 | DOI | MR | Zbl

Iordan, A.; Matthey, F. Régularité de L'opérateur $\bar{\partial}$ et Théorème de Siu sur la nonexistence d'hypersurfaces Levi-Plates Dans L'espace Projectif Complexe ${C P}_{n}$ , $n ⩾ 3$ , C. R. Acad. Sc. Paris, Volume 346 (2008), pp. 395-400 | DOI | MR | Zbl

Kodaira, K. (Springer-Verlag, ed.), Springer, 2005

Kodaira, K.; Spencer, D. On Deformations of Complex Analytic Structures I and II, Ann. of Math., Volume 67 (1958), pp. 328-466 | DOI | MR | Zbl

Kodaira, K.; Spencer, D. Multifoliate Structures, Ann. of Math., Volume 74 (1961), pp. 52-100 | DOI | MR | Zbl

Lins Neto, A. A Note on Projective Levi Flats and Minimal Sets of Algebraic Foliation, Ann. Inst. Fourier, Volume 49 (1999), pp. 1369-1385 | DOI | Numdam | MR | Zbl

Matsumoto, K.; Ohsawa, T. On the Real Analytic Levi Flat Hypersurfaces in Complex Tori of Dimension Two, Ann. Inst. Fourier, Volume 52 (2002), pp. 1525-1532 | DOI | Numdam | MR | Zbl

Nijenhuis, A.; Richardson, R. W. Cohomology and Deformations in Graded Lie Algebra, Bull. A. M. S., Volume 72 (1966), pp. 1-29 | DOI | MR | Zbl

Siu, Y.-T. Nonexistence of Smooth Levi Flat Hypersurfaces In Complex Projective Spaces of Dimension $⩾ 3$ , Ann. of Math., Volume 151 (2000), pp. 1217-1243 | DOI | MR | Zbl

Siu, Y.-T. $\bar{\partial}$ -Regularity for Weakly Pseudoconvex Domains in Compact Hermitian Symmetric Spaces with Respect to Invariant Metrics, Ann. of Math., Volume 156 (2002), pp. 595-621 | DOI | MR | Zbl

Sullivan, D. Cycles for Dynamical Study of Foliated Manifolds and Complex Manifolds, Invent. Math., Volume 36 (1976), pp. 225-255 | DOI | MR | Zbl

Voisin, C., Soc. Math. France, 2002

Cité par Sources :