Propriétés arithmétiques et dynamiques du fractal de Rauzy

Messaoudi, Ali

Messaoudi, Ali

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 10 (1998) no. 1, pp. 135-162

Résumé (VO)
Abstract

Dans ce travail, nous construisons explicitement deux isomorphismes métriques partout continus. L’un entre le système dynamique symbolique associé à la substitution $σ : 0 \mapsto 01, 1 \mapsto 02, 2 \mapsto 0$ et une rotation sur le tore $𝕋^{2}$ ; l’autre, entre le système adique stationnaire [33] associé à la matrice de la substitution et la même rotation. Pour cela, nous étudions les propriétés arithmétiques de la frontière d’un ensemble compact de $ℂ$ appelé “fractal de Rauzy”. Les constructions se généralisent aux substitutions de la forme $σ_{k} : 0 \mapsto 01, 1 \mapsto 02, \dots k - 1 \mapsto 0 k, k \mapsto 0$ où $k > 2$ .

Here we construct explicitly two metrical isomorphisms everywhere continuous. One between the symbolic dynamical system associated to the substitution $σ : 0 \mapsto 01, 1 \mapsto 02, 2 \mapsto 0$ and a rotation of the torus $𝕋^{2}$ ; the other is between the adic stationary system associated to the matrix of the substitution and the same rotation. For this we study the arithmetical properties of the boundary of a compact subset of $𝐂$ namely the “Rauzy fractal”. The constructions are generalised to substitutions $σ_{k} : 0 \mapsto 01, 1 \mapsto 02, \dots k - 1 \mapsto 0 k, k \mapsto 0 où k > 2$ .

MR Zbl

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Messaoudi, Ali. Propriétés arithmétiques et dynamiques du fractal de Rauzy. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 10 (1998) no. 1, pp. 135-162. https://numdam.org/item/JTNB_1998__10_1_135_0/

Bibliographie
Cité par

[1] P. Arnoux, G. Rauzy, Représentation géométrique de suites de complexité 2n +1, Bull. Soc. math. France, 119, 1991, p.101-117. | Numdam | Zbl | MR | EuDML

[2] A. Bertrand-Mathis, Développement en base θ, répartition modulo un de la suite (xθn)n ≽0, langages codés et θ-shift. Bulletin de la société mathématique de France 114(1986), 271-323. | Numdam | Zbl | EuDML

[3] F.M. Dekking, Recurrent Sets, Advances in mathematics 44. 78-104 (1982). | Zbl | MR

[4] J.M. Dumont, A. Thomas, Systèmes de numération et fonctions fractales relatifs aux substitutions, Theor. Comput. Sci. 65. 153-169 (1989). | Zbl | MR

[5] J.M. Dumont, A. Thomas, Digital sum problems and substitution on a finite alphabet, Preprint de l'institut de mathématiques de Luminy.

[6] S. Eilenberg, Automata, Languages, and Machines, Academic Press, 1974. | Zbl

[7] A.S. Fraenkel, Systems of numeration, Amer. Math. Monthly 92 (1985), 105-114. | Zbl | MR

[8] C. Frougny, B. Solomyak, Finite Beta-expansions, Ergod. Th. and Dynam.Systems 12 (1992), 4, p. 713-723. | Zbl | MR

[9] Groupe de travail de l'équipe "systèmes dynamiques discrets" , Institut de mathématiques de Luminy, Marseille.

[10] P.J. Grabner, R. Tichy, α-Expansions, Linear Recurrences, and the Som-of-Digits Function, manuscripta math. 70, 311-324, 1991. | Zbl

[11] P.J. Grabner, P. Liardet, R. Tichy, Odometers and systems of numeration, Acta Arithmetica, LXX.2 (1995), 103-122. | Zbl | MR

[12] W.J. Gilbert, Complex numbers with three radix expansions, Can. J. Math. XXXIV (1982) 1335-48. | Zbl | MR

[13] W.J. Gilbert, Fractal geometry derived from complex bases, The math. Intelligencer, 4 (1982), 78-86. | Zbl | MR

[14] W.J. Gilbert, Fractal dimension of sets derived from complex bases, Can. Math. Bull XXX, 29 (1986) 495-500. | Zbl | MR

[15] P.R. Halmos, lectures on ergodic theory, The Mathematical Soc. of Japan, Tokyo 1956. | Zbl | MR

[16] B. Host, Valeurs propres des systèmes dynamiques définis par des substitutions de longueur variable, Ergod. Th. and Dynam.Sys. (1986), 6, p. 529-540. | Zbl | MR

[17] R. Kenyon, A.M. Vershik, Arithmetic construction of sofic partitions of hyperbolic toral automorphisms. Prépublication de l'Umpa - ENS Lyon, (1996), numéro 0178.

[18] D.E. Knuth, The art of computer Programming, Vol 2. Seminumerical Algorithms, Addison- Wesley, Reading MA, 1981. | Zbl | MR

[19] S. Le Borgne, Un codage sofique des automorphismes hyperboliques du tore, Séminaire de probabilités de Rennes (1995). 35p, Pub. Inst Rech Math Rennes, 1995. | MR

[20] N. Loraud, β-shift, systèmes de numération et automates, J. Theor. Nombres Bordeaux, 7, 473-498, 1995. | Zbl | Numdam

[21] A.N. Livshits, A sufficient condition for weak mixing of substitutions and stationary adic transformations, Mat. Zametki 44 (1988), 785-793, translated in Math. Notes 44 (1988), 920-925. | Zbl | MR

[22] A. Messaoudi, Autour du fractal de Rauzy, Thèse d'Université, 96.

[23] A. Messaoudi, Frontière du fractal de Rauzy et système de numération complexe, Preprint de l'institut de mathématiques de Luminy. | MR

[24] B. Mossé, Notions de reeonnaissabilité pour les substitutions et complexité des suites automatiques, Bull. Soc. math. France 124 (1996) 101-108. | Zbl | MR | Numdam

[25] M. Morse, G.A. Hedlund, Symbolic dynamics II: sturmian trajectories, Amer. J. Math. 62 (1940), 1-42. | Zbl | MR | JFM

[26] B. Praggastis Markov partitions for hyperbolic toral automorphisms, Ph.d. Thesis, Univ of Washington, 1992.

[27] M. Queffélec, Substitution Dynamical Systems- Spectral Analysis, Lecture Notes in Mathematics, Vol 1294, Springer-Verlag, 1987, Berlin. | Zbl | MR

[28] G. Rauzy, Nombres algébriques et substitutions, Bull. Soc. Math. France 110 (1982), 147-178. | Zbl | MR | Numdam

[29] V. Sirvent, Properties of geometrical realisations of substitutions associated to a family of pisot numbers, Thèse, Mars 93.

[30] V. Sirvent, On some dynamical subsets of the Rauzy fractal, Theor. Computer. Sci., 180, 363-370, 1997. | Zbl | MR

[31] B. Solomyak, On the Spectral Theory of Adic Transformations, Advances in Soviet Mathematics Volume 9 (1992), 217-230. | Zbl | MR

[32] S. Ito, M. Kimura, On the Rauzy Fractal, Japan J. Indust. Appl. Math. 8 (1991), 461-486. | Zbl | MR

[33] A.M. Vershik, Fibadic expansions of real numbers and adic transformation, Prep. report. inst. Mittag Leffler, 4, 1991-1992, p. 1-9.

[34] A M. Vershik, A. N. Livshits, Adic Models of Ergodic Transformations, Spectral Theory, Substitutions, and Related Topics, Advances in Soviet Mathematics Volume 9 (1992). | Zbl | MR

[35] E. Zeckendorf, Représentation des nombres naturels par une somme de nombres de Fibonacci ou de nombres de Lucas, Bull. Soc. Roy. Sci. liège 41 (1972), 179-182. | Zbl | MR