$𝒟$-modules arithmétiques surholonomes

Caro, Daniel

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 42 (2009) no. 1, pp. 141-192.

Soient $k$ un corps parfait de caractéristique $p>0$, $U$ une variété sur $k$ et $F$ une puissance de Frobenius. Nous construisons la catégorie des ($F$-)$𝒟$-modules arithmétiques surholonomes sur $U$ et celle des ($F$-)complexes de $𝒟$-modules arithmétiques sur $U$ surholonomes. Nous montrons que les complexes surholonomes sont stables par images directes, images inverses, images inverses extraordinaires, images directes extraordinaires, foncteurs duaux. De plus, lorsque $U$ est lisse, nous vérifions que les $F$-isocristaux surconvergents unités sur $U$ sont surholonomes. Cela implique leur holonomie, ce qui prouve en partie une conjecture de Berthelot.

Let $k$ be a perfect field of characteristic $p>0$, $U$ be a variety over $k$ and $F$ be a power of Frobenius. We construct the category of overholonomic arithmetic ($F$-)$𝒟$-modules over $U$ and the category of overholonomic ($F$-)complexes of arithmetic $𝒟$-modules over $U$. We show that the overholonomicity is stable under direct images, inverse images, extraordinary inverse images, extraordinary direct images, dual functors. Moreover, when $U$ is smooth, we check that unit-root overconvergent $F$-isocrystals on $U$ are overholonomic. This implies that they are holonomic, which proves in part a Berthelot’s conjecture.

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