$𝒟$-modules arithmétiques surcohérents. Application aux fonctions $L$

Caro, Daniel

Annales de l'Institut Fourier, Tome 54 (2004) no. 6, pp. 1943-1996.

Nous étudions d’abord le foncteur cohomologique local. Ensuite, nous introduisons la notion de $𝒟$-modules arithmétiques surcohérents. Nous prouvons que les $F$- isocristaux unités sont surcohérents et surtout que la surcohérence est stable par images directes, images inverses extraordinaires et foncteurs cohomologiques locaux. On obtient, via cette stabilité, une formule cohomologique pour les fonctions $L$ associées aux complexes duaux de complexes surcohérents. Celle-ci étend celle d’Étesse et Le Stum pour les $F$-isocristaux surconvergents.

Firstly, we study the local cohomological functor. Next, we introduce the notion of overcoherent arithmetic $𝒟$-modules. We prove that unit-root $F$-isocrystals are overcoherent and that overcoherence is stable by direct images, extraordinary inverse images and local cohomological functors. Moreover, we obtain, using this stability, a cohomological formula for $L$-functions associated to the dual complexes of overcoherent complexes. It extends Étesse-Le Stum’s for $F$-overconvergent isocrystals.

[Ber1] P. Berthelot $𝒟$-modules arithmétiques. III. Images directes et inverses. (En cours de rédaction)

[Ber2] P. Berthelot $𝒟$-modules arithmétiques. I. Opérateurs différentiels de niveau fini, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), Volume 29 (1996) no. 2, pp. 185-272 | Numdam | MR | Zbl

[Ber3] P. Berthelot Cohérence différentielle des algèbres de fonctions surconvergentes, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., Volume 323 (1996) no. 1, pp. 35-40 | MR | Zbl

[Ber4] P. Berthelot Cohomologie rigide et cohomologie rigide à support propre. Première partie (1996) (Prépublication IRMAR 96-03, Université de Rennes)

[Ber5] P. Berthelot $𝒟$-modules arithmétiques. II. Descente par Frobenius, Mém. Soc. Math. France, 81, 2000 | Numdam | MR | Zbl

[Ber6] P. Berthelot Introduction à la théorie arithmétique des $𝒟$-modules, Cohomologies $p$-adiques et applications arithmétiques, II. (Astérisque), Volume 279 (2002), pp. 1-80 | Zbl

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[Ca1] D. Caro Dévissages des $𝒟$-modules arithmétiques en isocristaux surconvergents (en cours de rédaction)

[Ca2] D. Caro Fonctions $L$ associées aux $𝒟$-modules arithmétiques (2002) (Thèse, Université de Rennes1)

[Ca3] D. Caro Fonctions $L$ associées aux $𝒟$-modules arithmétiques. Cas des courbes (2003) (Preprint of Dipartimento di Matematica pura ed applicata di Padova, No 1) | MR | Zbl

[Ca4] D. Caro Cohérence différentielle des $F$-isocristaux unités, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Volume 338 (2004) no. 2, pp. 145-150 | MR | Zbl

[ELS1] J.-Y. Étesse; B. Le Stum Fonctions $L$ associées aux $F$-isocristaux surconvergents. I. Interprétation cohomologique, Math. Ann., Volume 296 (1993) no. 3, pp. 557-576 | EuDML | MR | Zbl

[ELS2] J.-Y. Étesse; B. Le Stum Fonctions $L$ associées aux $F$-isocristaux surconvergents. II. Zéros et pôles unités, Invent. Math., Volume 127 (1997) no. 1, pp. 1-31 | MR | Zbl

[Har] R. Hartshorne Residues and duality, Springer-Verlag, Berlin, 1966 | EuDML | MR | Zbl

[Huy1] C. Huyghe Finitude de la dimension cohomologique de la complétée faible de l'algèbre de Weyl et du faisceau des opérateurs différentiels arithmétiques à coefficients surconvergents le long d'un diviseur (Prépublication de l'Université de Rennes I, IRMAR 01-53)

[Huy2] C. Huyghe Construction et étude de la transformée de Fourier pour les $𝒟$-modules arithmétiques (1995) (Thèse, Université de Rennes I)

[Sai] M. Saito Induced $𝒟$-modules and differential complexes, Bull. Soc. Math. France, Volume 117 (1989) no. 3, pp. 361-387 | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[SGA4] M. Artin; A. Grothendieck; J.-L. Verdier; Avec la collaboration de N. Bourbaki, P. Deligne et B. Saint Théorie des topos et cohomologie étale des schémas, t. 2, Séminaire de Géométrie Algégrique du Bois-Marie 1963--1964 (SGA 4) (Lecture Notes in Math.), Volume 270 (1972) | Zbl

[SGA6] P. Berthelot; A. Grothendieck; L. Illusie.; P. Berthelot, A. Grothendieck Théorie des intersections et théorème de Riemann-Roch., Séminaire de Géométrie Algégrique du Bois Marie 1966-1967 (SGA 6) (Lecture Notes in Math), Volume 225 (1971) | MR | Zbl

[Vir] A. Virrion Dualité locale et holonomie pour les $𝒟$-modules arithmétiques, Bull. Soc. Math. France, Volume 128 (2000) no. 1, pp. 1-68 | EuDML | Numdam | MR | Zbl