Batalin-Vilkovisky algebra structures on Hochschild cohomology
[Structures d'algèbres de Batalin-Vilkovisky sur la cohomologie de Hochschild]
Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 137 (2009) no. 2, pp. 277-295.

Soit M une variété lisse orientée compact simplement connexe de dimension d. Soit 𝔽 un corps commutatif quelconque. Nous montrons que la structure d’algèbre de Gerstenhaber sur la cohomologie de Hochschild des cochaînes singulières de M, HH*(S*(M),S*(M)), s’étend en une algèbre de Batalin-Vilkovisky. L’existence d’une telle algèbre de Batalin-Vilkovisky était conjecturée. Il est prévu qu’une telle algèbre soit isomorphe à l’algèbre de Batalin-Vilkovisky sur l’homologie des lacets libres sur M, H*+d(LM), introduite par Chas and Sullivan. Nous montrons aussi que la cohomologie cyclique négative HC-*(S*(M)) possède un crochet de Lie. Ce crochet de Lie devrait coincider avec le crochet des cordes de Chas et Sullivan sur l’homologie équivariante H*S1(LM).

Let M be any compact simply-connected oriented d-dimensional smooth manifold and let 𝔽 be any field. We show that the Gerstenhaber algebra structure on the Hochschild cohomology on the singular cochains of M, HH*(S*(M),S*(M)), extends to a Batalin-Vilkovisky algebra. Such Batalin-Vilkovisky algebra was conjectured to exist and is expected to be isomorphic to the Batalin-Vilkovisky algebra on the free loop space homology on M, H*+d(LM) introduced by Chas and Sullivan. We also show that the negative cyclic cohomology HC-*(S*(M)) has a Lie bracket. Such Lie bracket is expected to coincide with the Chas-Sullivan string bracket on the equivariant homology H*S1(LM).

DOI : 10.24033/bsmf.2576
Classification : 16E40, 16E45, 55P35, 57P10
Keywords: string topology, Batalin-Vilkovisky algebra, Gerstenhaber algebra, Hochschild cohomology, free loop space
Mot clés : topologie des cordes, algèbre de Batalin-Vilkovisky, algèbre de Gerstenhaber, cohomologie de Hochschild, lacets libres 
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Menichi, Luc. Batalin-Vilkovisky algebra structures on Hochschild cohomology. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 137 (2009) no. 2, pp. 277-295. doi : 10.24033/bsmf.2576. https://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2576/

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