Towards a Mori theory on compact Kähler threefolds III
[À propos d’une théorie de Mori sur les variétés compactes kählériennes de dimension 3, III]
Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 129 (2001) no. 3, pp. 339-356.

Utilisant les résultats de la première et de la deuxième partie de ce travail, nous considérons des variétiés kählériennes minimales X de dimension 3, i.e. dont le fibré canonique KX est nef. Alors KX est un fibré « good », i.e. dont la dimension de Kodaira est égale à la dimension de Kodaira numérique, sous l’exception possible que X est simple, (i.e. il n’existe pas une sous-variété compacte contenant un points très general) et X non Kummer. Le deuxième théorème dit que les variétés kählériennes X de dimension 3 avec des singularités terminales de sorte que KX n’est pas nef, ont des contractions de Mori.

Based on the results of the first two parts to this paper, we prove that the canonical bundle of a minimal Kähler threefold (i.e. KX is nef) is good, i.e. its Kodaira dimension equals the numerical Kodaira dimension, (in particular some multiple of KX is generated by global sections); unless X is simple. “Simple“ means that there is no compact subvariety through the very general point of X and X not Kummer. Moreover we show that a compact Kähler threefold with only terminal singularities whose canonical bundle is not nef, admits a contraction unless X is simple with Kodaira dimension -∞.

DOI : 10.24033/bsmf.2400
Classification : 32J17, 32Q15
Keywords: kähler threefolds, abundance, rational curves, Kodaira dimension
Mot clés : variétiés kählériennes, abondance, courbes rationnelles, dimension de Kodaira 
@article{BSMF_2001__129_3_339_0,
     author = {Peternell, Thomas},
     title = {Towards a {Mori} theory on compact {K\"ahler~threefolds} {III}},
     journal = {Bulletin de la Soci\'et\'e Math\'ematique de France},
     pages = {339--356},
     publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France},
     volume = {129},
     number = {3},
     year = {2001},
     doi = {10.24033/bsmf.2400},
     mrnumber = {1881199},
     zbl = {0994.32017},
     language = {en},
     url = {https://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2400/}
}
TY  - JOUR
AU  - Peternell, Thomas
TI  - Towards a Mori theory on compact Kähler threefolds III
JO  - Bulletin de la Société Mathématique de France
PY  - 2001
SP  - 339
EP  - 356
VL  - 129
IS  - 3
PB  - Société mathématique de France
UR  - https://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2400/
DO  - 10.24033/bsmf.2400
LA  - en
ID  - BSMF_2001__129_3_339_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Peternell, Thomas
%T Towards a Mori theory on compact Kähler threefolds III
%J Bulletin de la Société Mathématique de France
%D 2001
%P 339-356
%V 129
%N 3
%I Société mathématique de France
%U https://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2400/
%R 10.24033/bsmf.2400
%G en
%F BSMF_2001__129_3_339_0
Peternell, Thomas. Towards a Mori theory on compact Kähler threefolds III. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 129 (2001) no. 3, pp. 339-356. doi : 10.24033/bsmf.2400. https://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2400/

[1] F. Campana & T. Peternell - « Towards a Mori theory on compact Kähler threefolds, I », Math. Nachr. 187 (1997), p. 29-59. | MR | Zbl

[2] -, « Complex threefolds with non-trivial holomorphic 2-forms », J. Alg. Geom. 9 (2000), p. 223-264. | MR | Zbl

[3] J.-P. Demailly - « Frobenius integrability of certain holomorphic p-forms », Preprint, 2000, to appear in a volume in honour of H. Grauert. | MR

[4] J.-P. Demailly, T. Peternell & M. Schneider - « Compact complex manifolds with numerically effective tangent bundles », J. Alg. Geom. 3 (1994), p. 295-345. | MR | Zbl

[5] -, « Compact Kähler manifolds with hermitian semipositive anticanonical bundle », Comp. Math. 101 (1996), p. 217-224. | EuDML | Numdam | MR

[6] A. Fujiki - « On the structure of compact complex manifolds in class 𝒞 », Adv. Stud. Pure Math., vol. 1, 1983, p. 231-302. | MR | Zbl

[7] T. Fujita - « Kähler fiber spaces over curves », J. Math. Soc. Japan 30 (1978), p. 779-794. | MR | Zbl

[8] M. Hanamura - « On the birational automorphism groups of algebraic varieties », Comp. Math. 63 (1987), p. 123-142. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[9] R. Hartshorne - Algebraic geometry, Graduate Texts in Math., vol. 52, Springer, 1977. | MR | Zbl

[10] Y. Kawamata - « Characterisation of abelian varieties », Comp. Math. 43 (1981), p. 253-276. | Numdam | MR | Zbl

[11] -, « Pluricanonical systems on minimal algebraic varieties », Inv. Math. 79 (1985), p. 567-588. | MR | Zbl

[12] -, « Crepant blowing ups of threedimensional canonical singularities and applications to degenerations of surfaces », Ann. Math. 119 (1988), p. 603-633. | Zbl

[13] -, « Abundance theorem for minimal threefolds », Inv. Math. 108 (1992), p. 229-246. | MR | Zbl

[14] Y. Kawamata & E. Viehweg - « On a characterisation of an abelian variety in the classification theory of algebraic varieties », Comp. Math. 41 (1980), p. 355-359. | Numdam | MR | Zbl

[15] S. Kebekus, T. Peternell, A. Sommese & J. Wisniewski - « Projective contact manifolds », Inv. Math. 142 (2000), p. 1-15. | MR | Zbl

[16] J. Kollár - « Flops », Nagoya Math. J. 113 (1989), p. 15-36. | MR | Zbl

[17] -, Rational curves on algebraic varieties, Erg. d. Math., vol. 32, Springer, 1996. | MR

[18] C. Lebrun - « Fano manifolds, contact structures and quaternionic geometry », Int. J. Math. 6 (1995), p. 419-437. | MR | Zbl

[19] Y. Miyaoka - « Abundance conjecture for threefolds: ν=1 case », Comp. Math. 68 (1988), p. 203-220. | Numdam | MR | Zbl

[20] S. Mori - « Threefolds whose canonical bundles are not numerically effective », Ann. Math. 116 (1982), p. 133-176. | MR | Zbl

[21] -, « Flip theorem and the existence of minimal models for 3-folds », J. Amer. Math. Soc. 1 (1988), p. 117-253. | MR | Zbl

[22] N. Nakayama - « The lower semi-continuity of the plurigenera of complex varieties », Adv. Stud. Pure Math., vol. 10, 1987, p. 551-590. | MR | Zbl

[23] T. Peternell - « Towards a Mori theory on compact Kähler threefolds, II », Math. Ann. 311 (1998), p. 729-764. | MR | Zbl

[24] M. Reid - « Canonical threefolds », Géométrie algébrique, Angers, vol. 1, Sijthoff and Noordhoff, p. 273-310. | MR | Zbl

[25] -, « Minimal models of threefolds », Adv. Stud. Pure Math., vol. 1, 1983, p. 131-180.

[26] -, « Singular del Pezzo surfaces », Publ. RIMS 30 (1994), p. 695-728.

[27] K. Ueno - « On compact analytic threefolds with non-trivial Albanese torus », Math. Ann. 278 (1987), p. 41-70. | MR | Zbl

[28] E. Viehweg - « Klassifikationstheorie algebraischer Varietäten der Dimension 3 », Comp. Math. 41 (1980), p. 361-400. | Numdam | MR | Zbl

[29] Y. Ye - « A note on complex projective threefolds admitting holomorphic contact structures », Inv. Math. 115 (1994), p. 311-314. | MR | Zbl

Cité par Sources :