Sur le théorème des fonctions composées différentiables

Risler, Jean-Jacques

doi:10.5802/aif.877

Risler, Jean-Jacques

Annales de l'Institut Fourier, Tome 32 (1982) no. 2, pp. 229-260.

Résumé
Abstract

Soit $f : X \to Y$ un morphisme propre relativement algébrique entre espaces semi-analytiques. On montre que si $𝒞^{\infty} (Y)$ désigne l’anneau des fonctions de classe $𝒞^{\infty}$ sur $Y$ , l’image par $f$ de $𝒞^{\infty} (Y)$ est fermée dans $𝒞^{\infty} (X)$ muni de sa topologie naturelle d’espace de Frechet ; ceci généralise un résultat précédent de J.-C. Tougeron (lui-même généralisant un résultat de Glaeser) qui traite du cas semi-algébrique. La méthode est tout à fait analogue et utilise des propriétés algébriques de l’anneau des fonctions Nash-analytiques introduit par Merrien, propriétés démontrées au début de l’article.

Let $f : X \to Y$ be a proper relatively algebraic morphism between semi-analytic spaces. If $𝒞^{\infty} (Y)$ is the ring of $𝒞^{\infty}$ -class functions on $Y$ , it is proved that the image of $𝒞^{\infty} (Y)$ by $f$ is closed in $𝒞^{\infty} (X)$ (with his natural topology of Frechet space); this result is a generalization of a recent one by Tougeron (which itself is a generalization of a result by Glaeser); in the Tougeron’s paper, the spaces were supposed semi-algebraic. The method of proof is very similar to the one to Tougeron, and use algebraic properties of the ring of Nash-analytic functions introduced by Merrien; these properties are studied in the beginning of the paper.

MR Zbl

DOI : 10.5802/aif.877

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Risler, Jean-Jacques. Sur le théorème des fonctions composées différentiables. Annales de l'Institut Fourier, Tome 32 (1982) no. 2, pp. 229-260. doi : 10.5802/aif.877. https://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.877/

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