Fonctions composées différentiables : cas algébrique

Tougeron, Jean-Claude

Annales de l'Institut Fourier, Tome 30 (1980) no. 4, pp. 51-74.

Soit $f$ un morphisme propre et de Nash d’un ouvert $\Omega$ de ${\mathbf{R}}^n$ dans un ouvert ${\Omega }^{\prime }$ de ${\mathbf{R}}^p$. Nous démontrons que l’image par $f^{*}$ de l’algèbre $C^{\infty }({\Omega }^{\prime })$ des fonctions réelles $C^{\infty }$ dans ${\Omega }^{\prime }$ est fermée dans $C\infty \left(\Omega \right)$ munie de sa topologie habituelle d’espace de Fréchet. Ce résultat généralise, dans le cas algébrique, un résultat de G. Glaeser sur les fonctions composées différentiables.

Let $f$ denote a proper Nash function from an open set $\Omega$ in ${\mathbf{R}}^n$ to an open set ${\Omega }^{\prime }$ in ${\mathbf{R}}^p$. We prove that the image by $f^{*}$ of the algebra $C^{\infty }({\Omega }^{\prime })$ of real $C^{\infty }$ functions on ${\Omega }^{\prime }$ is closed in $C^{\infty }\left(\Omega \right)$ provided with its usual Fréchet space topology. This result extends, in the algebraic case, a result of G. Glaeser on composed differentiable functions.

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