Topologies faciales dans les convexes compacts. Calcul fonctionnel et décomposition spectrale dans le centre d’un espace $A(X)$

Rogalski, Marc

doi:10.5802/aif.401

Topologies faciales dans les convexes compacts. Calcul fonctionnel et décomposition spectrale dans le centre d’un espace

A (X)

Rogalski, Marc

Annales de l'Institut Fourier, Tome 22 (1972) no. 1, pp. 1-66.

Résumé
Abstract

Cet article étudie, sur l’ensemble $𝒮 (X)$ des points extrémaux d’un convexe compact $X$ , des topologies faciales dont les fermés sont les traces de faces $F$ “parallélisables” (il existe une plus grande face $F^{'}$ disjointe de $F$ , et tout $x$ de $X$ s’écrit $x = λ y + (1 - λ) y^{'}, y \in F, y^{'} \in F^{'}$ , avec $λ$ unique). Les topologies faciales uniformisables sont en bijection avec les sous-espaces réticulés fermés et contenant 1 de l’espace $A (X)$ des fonctions affines continues sur $X$ . Ceci redonne des résultats classiques sur les simplexes, et permet une étude géométrique des sous-espaces réticulés de $A (X)$ .

Toute fonction $f$ de $A (X)$ continue pour une topologie faciale admet un calcul fonctionnel utilisant une décomposition spectrale de $f$ ( $ψ (f) = \int ψ (λ) d e_{λ}$ pour $ψ$ universellement mesurable sur le “spectre” de $f$ ). Toutes les notions classiques de théorie spectrale ont une interprétation géométrique sur le convexe compact $X$ ; en particulier, si $u$ est universellement mesurable sur $𝒮 (X)$ pour la topologie faciale la moins fine rendant $f$ continue, elle possède un prolongement vérifiant le calcul barycentrique et “approchable” au moyen de $f$ .

Enfin, une décomposition spectrale subsiste pour une fonction semi-continue inférieurement pour une topologie faciale, avec interprétation géométrique des notions de théorie spectrale.

In this paper, we study, on the set $𝒮 (X)$ of the extremal points of a compact convex set $X$ , facial topologies for which closed sets are the intersection with $𝒮 (X)$ of “parallel” faces (there exists a greatest face $F^{'}$ disjoint of $F$ , and, for every $x$ in $X$ , $x = λ y + (1 - λ) y^{'}, y \in F, y^{'} \in F^{'}$ , with $λ$ unique). There exists a bijection between the uniformizable facial topologies and the closed sub-lattices containing 1 of the space $A (X)$ of the affine continuous functions on $X$ . This gives classical results on simplexes, and permits a geometrical study of the sub-lattices of $A (X)$ .

Every function $f$ of $A (X)$ which is continuous for a facial topology has a functional calculus which uses a spectral decomposition of $f$ ( $ψ (f) = \int ψ (λ) d e_{λ}$ for $ψ$ universally measurable on the “spectrum” of $f$ ). All the classical concepts of spectral theory have a geometrical interpretation on the compact convex set $X$ ; for example, if $u$ has an extension to $(X)$ which verifies the barycenter calculus, and is “approximable” by using the function $f$ .

Such a spectral decomposition exists also for a lower semi-continuous function for a facial topology, with geometrical interpretation of the concepts of spectral theory.

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DOI : 10.5802/aif.401

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Rogalski, Marc. Topologies faciales dans les convexes compacts. Calcul fonctionnel et décomposition spectrale dans le centre d’un espace $A(X)$. Annales de l'Institut Fourier, Tome 22 (1972) no. 1, pp. 1-66. doi : 10.5802/aif.401. https://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.401/

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