Étude des coefficients de Fourier des fonctions de $L^p(G)$

Bonami, Aline

doi:10.5802/aif.357

Étude des coefficients de Fourier des fonctions de

L^{p} (G)

Bonami, Aline

Annales de l'Institut Fourier, Tome 20 (1970) no. 2, pp. 335-402.

Résumé
Abstract

On étudie la décroissance à l’infini des coefficients de Fourier des fonctions $2 π$ -périodiques intégrables. Soit en particulier $λ_{n}$ une suite lacunaire d’entiers : $λ_{n + 1} \geq 3 λ_{n}$ . On appelle suite $k$ -lacunaire associée la suite $μ_{N}^{k}$ des entiers qui s’écrivent sous la forme $\pm λ_{n_{1}} \pm λ_{n_{2}} \pm \dots \pm λ_{n_{k}}$ , $n_{1} > n_{2} > \dots > n_{k}$ . On montre que si $\int_{0}^{2 π} | f | ({Log}^{+} | f |)^{k / 2} d x$ est fini, il en est de même de $\sum_{N} | \hat{f} (μ_{N}^{k}) |^{2}$ . D’autre part, si $λ_{n}$ satisfait à une condition plus restrictive, quel que soit $1 < p \leq 2$ , si $\int_{0}^{2 π} | f |^{p} d x$ est fini il en est de même de $\sum_{k} (p - 1) \sum_{N} | \hat{f} (μ_{N}^{k}) |^{2}$ . Ces résultats sont généralisés à d’autres groupes que $R / 2 π Z$ , et à d’autres situations. On montre enfin une dernière propriété des séries $k$ -lacunaires : toute série $k$ -lacunaire qui converge sur un ensemble de mesure positive est la série de Fourier d’une fonction de carré sommable.

We study the decrease at infinity of the Fourier coefficients of $2 π$ -periodic integrable functions. Let $λ_{n}$ be a lacunary sequence of integers: $λ_{n + 1} \geq 3 λ_{n}$ : the associated $k$ -lacunary sequence is defined to be the sequence $μ_{N}^{k}$ of integers which can be written as $\pm λ_{n_{1}} \pm λ_{n_{2}} \pm \dots \pm λ_{n_{k}}$ , $n_{1} > n_{2} > \dots > n_{k}$ . It is shown that if $\int_{0}^{2 π} | f | ({Log}^{+} | f |)^{k / 2} d x$ is finite, then $\sum_{N} | \hat{f} (μ_{N}^{k}) |^{2}$ is finite. If $λ_{n}$ satisfies a more restrictive condition, then for every $p$ , $1 < p \leq 2$ , it is shown that if $\int_{0}^{2 π} | f |^{p} d x$ is finite, then $\sum_{k} (p - 1) \sum_{N} | \hat{f} (μ_{N}^{k}) |^{2}$ is finite. These results are generalized to other groups besides $R / 2 π Z$ , and to other situations. It is also shown that every $k$ lacunary sequence which converges in a set of positive measure is the Fourier series of a square summable function.

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DOI : 10.5802/aif.357

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Bonami, Aline. Étude des coefficients de Fourier des fonctions de $L^p(G)$. Annales de l'Institut Fourier, Tome 20 (1970) no. 2, pp. 335-402. doi : 10.5802/aif.357. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.357/

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