Sur l’arithmétique des extensions galoisiennes à groupe de Galois diédral d’ordre $2p$

Martinet, Jacques

doi:10.5802/aif.307

Sur l’arithmétique des extensions galoisiennes à groupe de Galois diédral d’ordre

2 p

Martinet, Jacques

Annales de l'Institut Fourier, Tome 19 (1969) no. 1, pp. 1-80.

Résumé
Abstract

Nous nous occupons dans cet article de l’arithmétique des extensions galoisiennes $N / κ$ dont le groupe de Galois est un groupe diédral $D_{p}$ , $p$ premier. Le théorème fondamental est le suivant (Théorème de la base normale) :

Soit $A$ un anneau principal de caractéristique $O$ , tel que $A / p A$ soit un corps à $p$ éléments. Soit $κ$ le corps des fractions de $A$ , $N$ une extension galoisienne de $κ$ dont le groupe de Galois $G$ est isomorphe à $D_{p}$ , et $B$ la clôture intégrale de $A$ dans $N$ . Supposons en outre que $N / κ$ est modérément ramifiée, et que l’anneau des entiers du sous-corps quadratique de $N$ possède une base normale sur $A$ . Alors $B$ lui-même possède une base normale sur $A$ .

Nous rappelons dans les deux premiers chapitres les résultats fondamentaux concernant les anneaux de Dedekind et l’algèbre d’un groupe sur un tel anneau.

Dans le troisième chapitre, nous étudions la ramification et calculons le discriminant.

Dans le chapitre IV, nous ajoutons au corps de base une racine $p$ -ième primitive de l’unité, et utilisons la “théorie de Kummer” pour obtenir la structure de l’anneau des entiers d’une extension à groupe de Galois diédral.

Dans le chapitre V, nous montrons l’existence de bases particulières pour l’anneau des entiers d’un sous-corps de $N$ de degré $p$ sur $[k]$ .

Le but du chapitre VI est la démonstration du théorème fondamental ; quand $κ$ est le corps des nombres rationnels, cela donne une généralisation dans le cas diédral du théorème de la base normale, bien connu pour les extensions abéliennes (Théorème 132 de Hilbert).

This paper deals with the arithmetic of Galois extensions $N / κ$ whose Galois group is a dihedral group $D_{p}, p$ prime. The main theorem is the following (Normal basis theorem):

Let $A$ be a principal ideal ring of characteristic $O$ , such that $A / p A$ is a field with $p$ elements. Let $κ$ be the quotient field of $A, N$ a Galois extension of $κ$ whose Galois group $G$ is isomorphic to $D_{p}$ , and $B$ the integral closure of $A$ in $N$ . Suppose furthermore that $N / κ$ is tamely ramified, and that the ring of integers of the quadratic subfield of $N$ possesses a normal basis over $A$ . Then $B$ itself possessses a normal basis over $A$ .

We recall in the first two chapters the fundamental facts concerning Dedekind rings and group algebras over such rings.

In the third chapter, we study the ramification of dihedral extensions, and compute the discriminant.

In the fourth chapter, we extend the ground field by adjoining to it a primitive $p$ -th root of 1, and use “Kummer theory” to obtain the structure of the ring of integers of a dihedral extension.

In the fifth chapter, we prove the existence of special bases for the ring of integers of a subfield of $N$ of degree $p$ over $κ$ .

The aim of the sixth chapter is to prove the main theorem; when $κ$ is the field of rationals numbers, this gives in the dihedral case a theorem which generalizes the well-known normal basis theorem for abelian extensions (Hilbert, theorem 132).

MR Zbl | 20 citations dans Numdam

DOI : 10.5802/aif.307

@article{AIF_1969__19_1_1_0,
     author = {Martinet, Jacques},
     title = {Sur l{\textquoteright}arithm\'etique des extensions galoisiennes \`a groupe de {Galois} di\'edral d{\textquoteright}ordre $2p$},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {1--80},
     publisher = {Institut Fourier},
     address = {Grenoble},
     volume = {19},
     number = {1},
     year = {1969},
     doi = {10.5802/aif.307},
     mrnumber = {41 #6820},
     zbl = {0165.06502},
     language = {fr},
     url = {https://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.307/}
}

TY  - JOUR
AU  - Martinet, Jacques
TI  - Sur l’arithmétique des extensions galoisiennes à groupe de Galois diédral d’ordre $2p$
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1969
SP  - 1
EP  - 80
VL  - 19
IS  - 1
PB  - Institut Fourier
PP  - Grenoble
UR  - https://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.307/
DO  - 10.5802/aif.307
LA  - fr
ID  - AIF_1969__19_1_1_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Martinet, Jacques
%T Sur l’arithmétique des extensions galoisiennes à groupe de Galois diédral d’ordre $2p$
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 1969
%P 1-80
%V 19
%N 1
%I Institut Fourier
%C Grenoble
%U https://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.307/
%R 10.5802/aif.307
%G fr
%F AIF_1969__19_1_1_0

Martinet, Jacques. Sur l’arithmétique des extensions galoisiennes à groupe de Galois diédral d’ordre $2p$. Annales de l'Institut Fourier, Tome 19 (1969) no. 1, pp. 1-80. doi : 10.5802/aif.307. https://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.307/

Bibliographie
Cité par

[1] Ankeny, Chowla, Hasse, “On the class number of the maximal real subfield of a cyclotomic field”, Jour. reine angew. Math. 217 (1965) 217-220. | MR | Zbl

[2] E. Artin, “Questions de base minimale dans la théorie des nombres algébriques”, Colloque du C.N.R.S. Algèbre et théorie des nombres. Paris (1949) 19-20. | MR | Zbl

[3] N. Bourbaki, “Algèbre” Chapitre V et VIII, Paris (1959).

[4] N. Bourbaki, “Algèbre commutative” Chapitre VII, Paris (1965).

[5] H. Cartan, S. Eilenberg, “Homological Algebra”, Princeton (1956). | MR | Zbl

[6] A. Chatelet, “Arithmétique des corps abéliens du troisième degré”, Annales scientifiques de l'E.N.S. 63 (1946) 109-160. | Numdam | MR | Zbl

[7] A. Chatelet, “Idéaux principaux dans les corps circulaires”, Colloque du C.N.R.S. Algèbre et théorie des nombres. Paris (1949) 103-106. | MR | Zbl

[8] H. Hasse, “Zahlentheorie”, Berlin (1963). | MR | Zbl

[9] E. Hecke, “Vorlesungen über die Theorie der algebraischen Zahlen”, Leipzig (1923), Réimpression : New-York (1948). | JFM | Zbl

[10] D. Hilbert, “Théorie des corps de nombres algébriques”, Paris (1913).

[11] M. P. Lee, “Integral representations of dihedral groups of order 2p”, Trans. Amer. Math. Soc. 110 (1964) 213-231. | MR | Zbl

[12] H.W. Leopoldt, “Uber die Hauptordnung der ganzen Elementen eines abelschen Zahlkörpers”, Jour. reine angew. Math. 201 (1959) 119-149. | MR | Zbl

[13] J. Martinet et J.J. Payan, “Sur les extensions cubiques non galoisiennes des rationnels et leur clôture galoisienne”, Jour. reine angew. Math. 228 (1967) 15-37. | MR | Zbl

[14] J. Martinet et J.J. Payan, “Sur les bases d'entiers des extensions galoisiennes et non abéliennes de degré 6 des rationnels”, Jour. reine angew. Math. 229 (1968) 29-33. | MR | Zbl

[15] E. Noether, “Normal basis bei Körpern ohne höhere Verzweigung”, Jour. reine angew. Math. 167 (1932) 147-152. | JFM | Zbl

[16] J.J. Payan, “Contribution à l'étude des corps abéliens absolus de degré premier impair”, Annales de l'institut Fourier (1965) 133-199. | Numdam | MR | Zbl

[17] J.J. Payan, “Critère de décomposition d'une extension de Kummer sur un sous-corps du corps de base”, Annales de l'E.N.S. (à paraître). | Numdam | Zbl

[18] D.S. Rim, “Modules over finite groups”, Ann. of Math. 69 (1959) 700-712. | MR | Zbl

[19] P. Samuel, O. Zariski, “Commutative algebra”, Volume 1.

[20] J.P. Serre, “Corps locaux”, Paris, Hermann (1962). | MR | Zbl

[21] R.G. Swann, “Induced representations and projective modules”. Ann. of Math. 71 (1960) 552-578. | MR | Zbl

Sodaïgui, Bouchaïb; Taous, Mohammed On realizable Galois module classes by the inverse different, Communications in Algebra, Volume 49 (2021) no. 2, p. 763 | DOI:10.1080/00927872.2020.1817472
Sodaïgui, Bouchaïb Sur la structure galoisienne relative de puissances de la différente et idéaux de stickelberger, International Journal of Number Theory, Volume 17 (2021) no. 07, p. 1645 | DOI:10.1142/s1793042121500536
Caputo, Luca; Vinatier, Stéphane Galois module structure of the square root of the inverse different in even degree tame extensions of number fields, Journal of Algebra, Volume 468 (2016), p. 103 | DOI:10.1016/j.jalgebra.2016.06.035
Bley, Werner; Johnston, Henri Computing generators of free modules over orders in group algebras, Journal of Algebra, Volume 320 (2008) no. 2, p. 836 | DOI:10.1016/j.jalgebra.2008.01.042
Sodaïgui, Bouchaïb Relative Galois module structure of octahedral extensions, Journal of Algebra, Volume 312 (2007) no. 2, p. 590 | DOI:10.1016/j.jalgebra.2006.09.037
Park, Sun-Mi; Kwon, Soun-Hi Class number one problem for normal CM-fields, Journal of Number Theory, Volume 125 (2007) no. 1, p. 59 | DOI:10.1016/j.jnt.2006.10.012
Cougnard, Jean Normal integral bases for 𝐴₄ extensions of the rationals, Mathematics of Computation, Volume 75 (2005) no. 253, p. 485 | DOI:10.1090/s0025-5718-05-01779-5
Lee, Yoonjin Cohen–Lenstra Heuristics and the Spiegelungssatz: Number Fields, Journal of Number Theory, Volume 92 (2002) no. 1, p. 37 | DOI:10.1006/jnth.2001.2699
Chang, Ku-Young; Kwon, Soun-Hi The class number one problem for some non-abelian normal CM-fields of degree 48, Mathematics of Computation, Volume 72 (2002) no. 242, p. 1003 | DOI:10.1090/s0025-5718-02-01443-6
Louboutin, Stéphane Computation ofL(0,χ) and of relative class numbers of CM-fields, Nagoya Mathematical Journal, Volume 161 (2001), p. 171 | DOI:10.1017/s0027763000022170
Louboutin, Stéphane Fast Computation of Relative Class Numbers of CM-Fields, Algorithmic Number Theory, Volume 1838 (2000), p. 413 | DOI:10.1007/10722028_26
Sodaı̈gui, Bouchaı̈b Realizable Classes of Quaternion Extensions of Degree 4ℓ, Journal of Number Theory, Volume 80 (2000) no. 2, p. 304 | DOI:10.1006/jnth.1999.2448
Hooper, Jeff; Snaith, Victor; Minh Van Tran The second Chinburg conjecture for quaternion fields, Memoirs of the American Mathematical Society, 704, Providence, RI: American Mathematical Society (AMS), 2000 | DOI:10.1090/memo/0704 | Zbl:0978.11063
Kwon, S. -H. Sur les discrimants minimaux des corps quaternioniens, Archiv der Mathematik, Volume 67 (1996) no. 2, p. 119 | DOI:10.1007/bf01268925
Jehanne, Arnaud Des extensions sextiques de ? de cl�ture galoisienne engendr�e par deux corps cubiques lin�airement disjoints, Archiv der Mathematik, Volume 61 (1993) no. 1, p. 35 | DOI:10.1007/bf01258053
Bibliography, Topics in Field Theory, Volume 155 (1989), p. 477 | DOI:10.1016/s0304-0208(08)72585-4
Bölling, Reinhard On Ranks of Class Groups of Fields in Dihedral Extensions over Q with Special Reference to Cubic Fields, Mathematische Nachrichten, Volume 135 (1988) no. 1, p. 275 | DOI:10.1002/mana.19881350121
Cougnard, Jean Sur la monog�n�it� de l'anneau des entiers d'une extension di�drale imaginaire de degr� 2p (p premier), Archiv der Mathematik, Volume 48 (1987) no. 3, p. 223 | DOI:10.1007/bf01195356
Bölling, Reinhard Zur Klassenzahl nicht galoisscher Körper in Diedererweiterungen über Q mit besonderer Berücksichtigung kubischer Körper, I, Mathematische Nachrichten, Volume 118 (1984) no. 1, p. 271 | DOI:10.1002/mana.19841180120
Hayashi, Heima On elliptic units and class number of a certain non-galois number field, Manuscripta Mathematica, Volume 45 (1983) no. 1, p. 13 | DOI:10.1007/bf01168577
Steckel, Heinz-Dieter Arithmetik in Frobeniuserweiterungen, manuscripta mathematica, Volume 39 (1982) no. 2-3, p. 359 | DOI:10.1007/bf01165797
Gustafson, William H. Remarks on the history and applications of integral representations, Integral Representations and Applications, Volume 882 (1981), p. 1 | DOI:10.1007/bfb0092486
Queyrut, Jacques S-groupes de Grothendieck et structure galoisienne des anneaux d'entiers, Integral Representations and Applications, Volume 882 (1981), p. 219 | DOI:10.1007/bfb0092495
Miyata, Takehiko A normal integral basis theorem for dihedral groups, Tohoku Mathematical Journal, Volume 32 (1980) no. 1 | DOI:10.2748/tmj/1178229681
Moser, Nicole Unités et nombre de classes d’une extension Galoisienne diédrale de Q, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, Volume 48 (1979) no. 1, p. 54 | DOI:10.1007/bf02941290
Fröhlich, A A normal integral basis theorem, Journal of Algebra, Volume 39 (1976) no. 1, p. 131 | DOI:10.1016/0021-8693(76)90065-x
Cassou-Noguès, Philippe Groupe des classes de l'algèbre d'un groupe métacyclique, Journal of Algebra, Volume 41 (1976) no. 1, p. 116 | DOI:10.1016/0021-8693(76)90172-1
Martinet, Jacques Bases normales et constante de l'équation fonctionnelle des fonctions L d'Artin, Séminaire Bourbaki vol. 1973/74 Exposés 436–452, Volume 431 (1975), p. 273 | DOI:10.1007/bfb0066375
Bibliography, The Theory of Numbers, Volume 8 (1975), p. 519 | DOI:10.1016/s0924-6509(08)70623-8
Ullom, S. Integral representations afforded by ambiguous ideals in some abelian extensions, Journal of Number Theory, Volume 6 (1974) no. 1, p. 32 | DOI:10.1016/0022-314x(74)90006-7
Reiner, Irving A survey of integral representation theory, Bulletin of the American Mathematical Society, Volume 76 (1970) no. 2, p. 159 | DOI:10.1090/s0002-9904-1970-12441-7

Cité par 31 documents. Sources : Crossref, zbMATH