Contribution à l'étude des corps abéliens absolus de degré premier impair
Annales de l'Institut Fourier, Tome 15 (1965) no. 2, pp. 133-199.

Soit k une extension algébrique du corps des nombres rationnels, galoisienne et de degré premier ℓ. Si θ 0 ,θ 1 ,...,θ ℓ-1 désignent des éléments primitifs conjugués de k, on note θ u,j ¯, j=1,2,...,ℓ-1, leurs résolvantes de Lagrange. Les nombres μ j =θ u,j ¯ ℓ sont des éléments primitifs conjugués du corps C(ℓ) des racines ℓ-ièmes de l’unité.

La première partie est consacrée à la caractérisation de ces μ, on en déduit une paramétrisation des polynômes abéliens de degré ℓ. On s’intéresse ensuite aux μ j associés à des éléments θ u entiers, ce qui permet de retrouver les résultats connus sur les propriétés arithmétiques des corps abéliens, leurs bases d’entiers et conduit à une démonstration simple de la loi de réciprocité.

Cette méthode s’étend facilement au cas où le corps de base est celui des nombres p-adiques, elle permet de déterminer le nombre d’extensions abéliennes de degré ℓ de ce corps.

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Payan, Jean-Jacques. Contribution à l'étude des corps abéliens absolus de degré premier impair. Annales de l'Institut Fourier, Tome 15 (1965) no. 2, pp. 133-199. doi : 10.5802/aif.212. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.212/

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