Sur un problème de stabilité posé en optique géométrique non linéaire surcritique
Cheverry, Christophe1
1 Université de Rennes I IRMAR, UMR 6625-CNRS Campus de Beaulieu 35042 Rennes France
Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) dit aussi "Séminaire Goulaouic-Schwartz" (2008-2009), Exposé no. 5, 14 p.

Cet exposé s’intéresse à un modèle réaliste issu de la mécanique des fluides. L’objectif est de montrer qu’il est possible de traiter dans un tel cadre des problèmes d’instabilité soulevés par la propagation de singularités qualifiées de surcritiques. D’abord, nous introduisons le modèle (équations de type Navier-Stokes) et ses motivations (questions liées à la propagation d’oscillations en régime turbulent). Ensuite, nous présentons deux résultats (relatifs au caractère bien posé d’un problème de Cauchy oscillant) dont nous expliquons les difficultés sous-jacentes (dues à l’absence de contrôles suffisants via les estimations d’énergie classiques). Dans un troisième volet, nous décrivons la stratégie suivie pour prouver les deux énoncés donnés. Enfin, nous indiquons quelques applications possibles de la méthode.

Cheverry, Christophe 1

1 Université de Rennes I IRMAR, UMR 6625-CNRS Campus de Beaulieu 35042 Rennes France 
@article{SEDP_2008-2009____A5_0,
     author = {Cheverry, Christophe},
     title = {Sur un probl\`eme de stabilit\'e pos\'e en optique g\'eom\'etrique non lin\'eaire surcritique},
     journal = {S\'eminaire \'Equations aux d\'eriv\'ees partielles (Polytechnique) dit aussi "S\'eminaire Goulaouic-Schwartz"},
     note = {talk:5},
     pages = {1--14},
     publisher = {Centre de math\'ematiques Laurent Schwartz, \'Ecole polytechnique},
     year = {2008-2009},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/item/SEDP_2008-2009____A5_0/}
}
TY  - JOUR
AU  - Cheverry, Christophe
TI  - Sur un problème de stabilité posé en optique géométrique non linéaire surcritique
JO  - Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) dit aussi "Séminaire Goulaouic-Schwartz"
N1  - talk:5
PY  - 2008-2009
SP  - 1
EP  - 14
PB  - Centre de mathématiques Laurent Schwartz, École polytechnique
UR  - http://www.numdam.org/item/SEDP_2008-2009____A5_0/
LA  - fr
ID  - SEDP_2008-2009____A5_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Cheverry, Christophe
%T Sur un problème de stabilité posé en optique géométrique non linéaire surcritique
%J Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) dit aussi "Séminaire Goulaouic-Schwartz"
%Z talk:5
%D 2008-2009
%P 1-14
%I Centre de mathématiques Laurent Schwartz, École polytechnique
%U http://www.numdam.org/item/SEDP_2008-2009____A5_0/
%G fr
%F SEDP_2008-2009____A5_0
Cheverry, Christophe. Sur un problème de stabilité posé en optique géométrique non linéaire surcritique. Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) dit aussi "Séminaire Goulaouic-Schwartz" (2008-2009), Exposé no. 5, 14 p. http://www.numdam.org/item/SEDP_2008-2009____A5_0/

[1] D. Bresch ; B. Desjardins ; D. Gérard-Varet : On compressible Navier-Stokes equations with density dependent viscosities in bounded domains. J. Math. Pures Appl. 87, 227–235 (2007) | MR | Zbl

[2] J.-Y. Chemin ; B. Desjardins ; I. Gallagher ; E. Grenier : Fluids with anisotropic viscosity. M2AN Math. Model. Numer. Anal. 2, 315–335 (2000) | Numdam | MR | Zbl

[3] C. Cheverry : A deterministic model for the propagation of turbulent oscillations. J. Differential Equations 247 (2009).

[4] C. Cheverry : Cascade of phases in turbulent flows. Bulletin de la SMF 134, 33–82 (2006) | Numdam | MR | Zbl

[5] C. Cheverry : Recent results in large amplitude monophase nonlinear geometric optics. Bardos, Claude (ed.) et al., Instability in models connected with fluid flows I. International Mathematical Series (New York) 6, 267-288 (2008) | MR | Zbl

[6] C. Cheverry ; O. Guès : Counter-examples to Concentration-cancellation. Archive for Rational Mechanics and Analysis 189, 363–424 (2008) | MR | Zbl

[7] C. Cheverry ; O. Guès ; G. Métivier : Oscillations fortes sur un champ linéairement dégénéré. Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 36, 691–745 (2003) | Numdam | MR | Zbl

[8] C. Cheverry ; M. Houbad : Compatibility conditions to allow some large amplitude WKB analysis for Burger’s type systems. Physica D : Nonlinear Phenomena 237, 1429–1443 (2008) | MR | Zbl

[9] S. Friedlander ; W. Strauss ; M. Vishik : Nonlinear instability in an ideal fluid. Ann. Inst. Henri Poincaré, 14, 187-209 (1997) | Numdam | MR | Zbl

[10] F. Gallaire ; D. Gérard-Varet ; F. Rousset : Three-dimensional instability of planar flows. Arch. Ration. Mech. Anal. 186, 423–475 (2007) | MR | Zbl

[11] I. Gallagher ; L. Saint-Raymond : On pressureless gases driven by a strong inhomogeneous magnetic field. SIAM J. Math. Anal. 36, 1159–11176 (2005) | MR | Zbl

[12] E. Grenier : On the nonlinear instability of Euler and Prandtl equations. Comm. Pure Appl. Math. 53, 1067–1091 (2000) | MR | Zbl

[13] J. Joly ; G. Métivier ; J. Rauch : Recent results in non-linear geometric optics. Internat. Ser. Numer. Math. 130, Birkhäuser, (1999) | MR | Zbl

[14] T. Makino ; S. Ukai ; S. Kawashima : On the compactly supported solution of the compressible Euler equation. Japan J. Appl. Math. 3, 249–257 (1986) | MR | Zbl