Écarts entre nombres premiers successifs

Kowalski, Emmanuel

Séminaire Bourbaki : volume 2005/2006, exposés 952-966, Astérisque, no. 311 (2007), Exposé no. 959, pp. 177-210.

Le théorème des nombres premiers dit que la distance entre deux nombres premiers consécutifs $p_n<p_{n+1}$ est, en moyenne, de l’ordre de $ln\left(p_n\right)$. Récemment, D. Goldston, J. Pintz et C. Yıldırım sont parvenus à démontrer que la distance normalisée $(p_{n+1}-p_n)/ln\left(p_n\right)$ pouvait devenir arbitrairement petite, améliorant spectaculairement les résultats connus auparavant. Sous des hypothèses considérées comme raisonnables, ils parviennent à montrer que $p_{n+1}-p_n<16$ infiniment souvent. Leur méthode est une très jolie application d’idées inspirée par les méthodes de crible, et elle semble offrir de nombreuses possibilités de développement.

The Prime Number Theorem implies that the gap $p_{n+1}-p_n$ between consecutive prime numbers $p_n<p_{n+1}$ is, on average of order of magnitude $log{p}_n$. Recently, D. Goldston, J. Pintz and C. Yıldırım have succeeded in proving that the normalized gap $(p_{n+1}-p_n)/log\left(p_n\right)$ can be arbitrarily small, improving spectacularly the previously known results. Under some assumptions which are considered as likely to be true, they manage to prove that $p_{n+1}-p_n<16$ infinitely often. Their method is a beautiful application of ideas inspired by sieve methods, and it seems to offer many possibilities for further developments.

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