Progressions arithmétiques dans les nombres premiers [d'après B. Green et T. Tao]
Séminaire Bourbaki : volume 2004/2005, exposés 938-951, Astérisque, no. 307 (2006), Exposé no. 944, pp. 229-246.

Récemment, B. Green et T. Tao ont montré que : l'ensemble des nombres premiers contient des progressions arithmétiques de toutes longueurs répondant ainsi à une question ancienne à la formulation particulièrement simple. La démonstration n'utilise aucune des méthodes “transcendantes” ni aucun des grands théorèmes de la théorie analytique des nombres. Elle est écrite dans un esprit proche de celui de la théorie ergodique, en particulier de celui de la preuve par Furstenberg du théorème de Szemerédi, mais elle n'utilise aucun théorème provenant de cette théorie. La méthode peut ainsi être considérée comme “élémentaire”, ce qui ne veut pas dire facile. On se propose de présenter l'organisation générale de la preuve sans développer les calculs.

B. Green and T. Tao have recently proved that the set of primes contains arbitrary long arithmetic progressions, answering to an old question with a remarkably simple formulation. The proof does not use any “transcendental” method and any of the deep theorems of analytic number theory. It is written in a spirit close to ergodic theory and in particular of Furstenberg's proof of Szemerédi's Theorem, but it does not use any result of this theory. Therefore the method can be considered as elementary, which does not mean easy. We entend here to present the mains ideas of this proof.

Classification : 11N13, 11B25, 37A5
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