Obstructions au principe de Hasse et à l'approximation faible

Peyre, Emmanuel

Séminaire Bourbaki : volume 2003/2004, exposés 924-937, Astérisque, no. 299 (2005), Exposé no. 931, pp. 165-193.

Si un système d’équations polynomiales à coefficients entiers admet une solution dans ${𝐐}^n$, il en admet sur tout complété $p$-adique ou réel de $𝐐$. La réciproque a été démontrée par Hasse pour les quadriques, mais elle est fausse en général. Une grande partie des contre-exemples connus peuvent être expliqués à l’aide de l’obstruction de Brauer-Manin, basée sur la théorie du corps de classe. Il est donc naturel de se demander si, pour certaines classes de variétés, cette obstruction est la seule. Le but de cet exposé est de présenter un survol des techniques développées pour répondre à ce type de questions.

If a system of polynomial equations with integral coefficients has a solution in ${𝐐}^n$, then it has one over any $p$-adic or real completion of $𝐐$. The converse was proven by Hasse for quadrics but does not hold in general. Most counter-examples could be explained using Brauer-Manin obstruction. Thus it is natural to ask whether this obstruction is the only one for various classes of varieties. The aim of this talk is to present a short survey of the methods introduced to explore such questions.

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